Номер 7.81, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.5. Арксинус - номер 7.81, страница 220.

Условие.

7.81 С помощью арксинуса выразите все углы из промежутка $[0; \pi]$, соответствующие отмеченным точкам на единичной окружности (рис. 95, а–в).

а) $\frac{1}{2}$

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) $a$

Рис. 95

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

На единичной окружности, показанной на рисунке 95а, точки, соответствующие углам $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $, имеют одинаковую ординату (координату $y$), равную $ \frac{1}{2} $. На единичной окружности ордината точки равна синусу угла, который эта точка образует с положительным направлением оси $x$. Следовательно, мы имеем уравнения: $ \sin(\alpha_1) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(\alpha_2) = \frac{1}{2} $.

Мы ищем углы в промежутке $ [0; \pi] $.

Угол $ \alpha_1 $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha_1 < \frac{\pi}{2} $). По определению, $ \arcsin(b) $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $b$. Поскольку $ \alpha_1 $ попадает в этот промежуток, мы можем записать: $ \alpha_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $.

Угол $ \alpha_2 $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha_2 < \pi $). Для углов, расположенных симметрично относительно оси $y$, синусы равны. Связь между такими углами выражается формулой $ \alpha_2 = \pi - \alpha_1 $. Подставляя выражение для $ \alpha_1 $, получаем: $ \alpha_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $.

Ответ: $ \alpha_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $, $ \alpha_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $.

б)

На рисунке 95б точки, соответствующие углам $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $, имеют одинаковую ординату, равную $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, для обоих углов выполняется: $ \sin(\alpha_1) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\alpha_2) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Углы принадлежат промежутку $ [0; \pi] $.

Угол $ \alpha_1 $ находится в первой четверти. Его значение, выраженное через арксинус, равно: $ \alpha_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

Угол $ \alpha_2 $ находится во второй четверти и симметричен $ \alpha_1 $ относительно оси $y$. Следовательно, он вычисляется по формуле $ \alpha_2 = \pi - \alpha_1 $: $ \alpha_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

Ответ: $ \alpha_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $, $ \alpha_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

в)

На рисунке 95в точки, соответствующие углам $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $, имеют одинаковую ординату, равную $a$. Из рисунка видно, что $ 0 < a < 1 $. Таким образом, мы имеем: $ \sin(\alpha_1) = a $ и $ \sin(\alpha_2) = a $.

Углы принадлежат промежутку $ [0; \pi] $.

Угол $ \alpha_1 $ находится в первой четверти. Его значение, выраженное через арксинус, равно: $ \alpha_1 = \arcsin(a) $.

Угол $ \alpha_2 $ находится во второй четверти и симметричен $ \alpha_1 $ относительно оси $y$. Следовательно, он равен: $ \alpha_2 = \pi - \alpha_1 = \pi - \arcsin(a) $.

Ответ: $ \alpha_1 = \arcsin(a) $, $ \alpha_2 = \pi - \arcsin(a) $.