Номер 7.76, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.5. Арксинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.76, страница 219.

7.76° Что называют арксинусом числа $a$? Для каких чисел $a$ существует $\arcsin a$, для каких нет?

Что называют арксинусом числа a? Арксинусом числа $a$ называют такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Это определение можно записать в виде равносильности при условии, что $|a| \le 1$:
$\arcsin a = \alpha \iff \sin \alpha = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Ограничение на значения $\alpha$ (принадлежность отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$) вводится для того, чтобы функция арксинус была однозначной, так как существует бесконечно много углов, синус которых равен $a$.

Ответ: Арксинусом числа $a$, модуль которого не превышает единицы ($|a| \le 1$), называется такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что $\sin \alpha = a$.

Для каких чисел a существует arcsin a, для каких нет? Функция арксинус ($y = \arcsin a$) является обратной к функции синус ($y = \sin x$). Областью значений функции синус является отрезок $[-1, 1]$, то есть для любого угла $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Поскольку арксинус является обратной функцией, его область определения совпадает с областью значений функции синус. Таким образом, выражение $\arcsin a$ имеет смысл (определено или существует) только для тех значений $a$, которые принадлежат отрезку $[-1, 1]$.
Если число $a$ по модулю больше единицы, то есть $a > 1$ или $a < -1$, то не существует такого угла, синус которого был бы равен $a$. Следовательно, для таких чисел $a$ арксинус не существует.

Ответ: Выражение $\arcsin a$ существует для всех чисел $a$, удовлетворяющих неравенству $-1 \le a \le 1$ (или $a \in [-1, 1]$). Для чисел $a$, таких что $a > 1$ или $a < -1$ (или $|a| > 1$), $\arcsin a$ не существует.