Номер 7.79, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.5. Арксинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.79, страница 219.

7.79 а) $\arcsin 1$;

б) $\arcsin (-1)$;

в) $\arcsin 0$;

г) $\arcsin \frac{1}{2}$;

д) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$;

з) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

и) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

а) По определению, арксинус числа $a$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого выполняется равенство $\sin \alpha = a$. Чтобы найти $\arcsin 1$, мы ищем угол $\alpha$, такой что $\sin \alpha = 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Единственный угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = -1$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Также можно воспользоваться свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Следовательно, $\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

в) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = 0$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = 0$.

Ответ: $0$

г) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Это табличное значение для синуса. Угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

д) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение. Угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

е) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это табличное значение. Угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

ж) Для нахождения арксинуса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Таким образом, $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2})$. Из пункта г) мы знаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

з) Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Из пункта д) мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

и) Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Из пункта е) мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$