Номер 7.84, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.6. Арккосинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.84, страница 223.

7.84° Назовите угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен:

а) $1$;

б) $-1$;

в) $0$;

г) $\frac{1}{2}$;

д) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 1$. Решение этого уравнения эквивалентно нахождению значения арккосинуса от 1, то есть $\alpha = \arccos(1)$. По определению, арккосинус числа — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен этому числу. На единичной окружности косинус (координата по оси x) равен 1 в точке, соответствующей углу $0$ радиан. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $0$.

б) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -1$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(-1)$. На единичной окружности косинус равен $-1$ в точке, соответствующей углу $\pi$ радиан. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\pi$.

в) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 0$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(0)$. На единичной окружности косинус равен 0 в точках, соответствующих углам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (а также другим углам, отличающимся от них на целое число оборотов). Из всех возможных решений только угол $\frac{\pi}{2}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(\frac{1}{2})$. Это известное табличное значение. Угол в первой четверти, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $\frac{\pi}{3}$. Этот угол принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

д) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Поскольку значение косинуса отрицательное, искомый угол находится во второй четверти (так как рассматривается промежуток $[0; \pi]$). Для нахождения угла можно использовать свойство арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

е) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Так как значение косинуса отрицательное, угол находится во второй четверти. Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.