Номер 7.87, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.6. Арккосинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.87, страница 223.

Вычислите (7.87–7.88):

7.87

a) $\cos \left(\arccos \left(\frac{1}{2}\right)\right)$;

б) $\cos \left(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$;

в) $\cos \left(\arccos \left(\frac{1}{3}\right)\right)$;

г) $\cos \left(\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$;

д) $\cos (\arccos 0,7)$;

е) $\cos (\arccos (-0,7)).$

Для решения данных задач используется основное свойство арккосинуса. По определению, арккосинус числа a (обозначается $arccos(a)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен a. Это можно записать так: если $arccos(a) = \alpha$, то $cos(\alpha) = a$.

Отсюда следует основное тригонометрическое тождество: $cos(arccos(a)) = a$. Это тождество верно для всех значений a, для которых определен арккосинус, то есть для $a \in [-1, 1]$. Все числа в примерах принадлежат этому промежутку, поэтому для каждого из них можно применить это тождество.

а) $cos\left(arccos\frac{1}{2}\right)$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$, тождество справедливо.

$cos\left(arccos\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $cos\left(arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = -\frac{1}{2}$. Поскольку $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$, тождество справедливо.

$cos\left(arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) $cos\left(arccos\frac{1}{3}\right)$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, тождество справедливо.

$cos\left(arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) $cos\left(arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = -\frac{1}{3}$. Поскольку $-1 \le -\frac{1}{3} \le 1$, тождество справедливо.

$cos\left(arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

д) $cos(arccos(0,7))$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = 0,7$. Поскольку $-1 \le 0,7 \le 1$, тождество справедливо.

$cos(arccos(0,7)) = 0,7$.

Ответ: $0,7$.

е) $cos(arccos(-0,7))$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = -0,7$. Поскольку $-1 \le -0,7 \le 1$, тождество справедливо.

$cos(arccos(-0,7)) = -0,7$.

Ответ: $-0,7$.