Номер 7.91, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.6. Арккосинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.91, страница 224.

Постройте углы (7.91–7.92):

7.91 а) $\arccos \frac{1}{3}$, $-\arccos \frac{1}{3}$;

б) $\arccos \frac{1}{4}$, $-\arccos \frac{1}{4}$;

в) $\arccos \frac{4}{5}$, $-\arccos \frac{4}{5}$;

г) $\arccos \frac{3}{4}$, $-\arccos \frac{3}{4}$.

Для построения углов вида $\alpha = \arccos(a)$ и $-\alpha = -\arccos(a)$ используется единичная окружность в декартовой системе координат.

По определению, $\alpha = \arccos(a)$ — это такой угол, что $\cos(\alpha) = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$. На единичной окружности косинус угла — это абсцисса (координата x) точки пересечения конечной стороны угла с окружностью.

Общий алгоритм построения угла $\arccos(a)$:

1. В декартовой системе координат строим единичную окружность, то есть окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=1$.
2. На оси абсцисс (оси Ox) отмечаем точку со значением $a$.
3. Через эту точку проводим вертикальную прямую $x=a$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность. Поскольку для арккосинуса угол находится в диапазоне $[0, \pi]$, мы выбираем точку пересечения в верхней полуплоскости (в I или II квадранте). Обозначим эту точку P.
5. Угол, образованный положительным направлением оси Ox и лучом OP, отсчитанный против часовой стрелки, и есть искомый угол $\arccos(a)$.

Угол $-\arccos(a)$ является симметричным углу $\arccos(a)$ относительно оси Ox. Его конечная сторона будет проходить через точку пересечения прямой $x=a$ с единичной окружностью в нижней полуплоскости (в IV или III квадранте).

---

а) Требуется построить углы $\arccos\frac{1}{3}$ и $-\arccos\frac{1}{3}$.

1. Строим единичную окружность. На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = \frac{1}{3}$.

2. Проводим через эту точку вертикальную прямую $x = \frac{1}{3}$.

3. Эта прямая пересекает верхнюю полуокружность в точке $P_1$ и нижнюю в точке $P_2$. Координаты этих точек: $P_1(\frac{1}{3}, \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2}) = P_1(\frac{1}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3})$ и $P_2(\frac{1}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3})$.

4. Угол $\angle{XOP_1}$, отсчитанный от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, является углом $\arccos\frac{1}{3}$.

5. Угол, конечная сторона которого проходит через луч $OP_2$, является углом $-\arccos\frac{1}{3}$.

Ответ: Углы строятся на единичной окружности. Для $\arccos\frac{1}{3}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{1}{3}$ с верхней полуокружностью. Для $-\arccos\frac{1}{3}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{1}{3}$ с нижней полуокружностью.

б) Требуется построить углы $\arccos\frac{1}{4}$ и $-\arccos\frac{1}{4}$.

1. Строим единичную окружность. На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = \frac{1}{4}$.

2. Проводим через эту точку вертикальную прямую $x = \frac{1}{4}$.

3. Эта прямая пересекает верхнюю полуокружность в точке $P_1$ и нижнюю в точке $P_2$. Координаты этих точек: $P_1(\frac{1}{4}, \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2}) = P_1(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4})$ и $P_2(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{15}}{4})$.

4. Угол $\angle{XOP_1}$, отсчитанный от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, является углом $\arccos\frac{1}{4}$.

5. Угол, конечная сторона которого проходит через луч $OP_2$, является углом $-\arccos\frac{1}{4}$.

Ответ: Углы строятся на единичной окружности. Для $\arccos\frac{1}{4}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{1}{4}$ с верхней полуокружностью. Для $-\arccos\frac{1}{4}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{1}{4}$ с нижней полуокружностью.

в) Требуется построить углы $\arccos\frac{4}{5}$ и $-\arccos\frac{4}{5}$.

1. Строим единичную окружность. На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = \frac{4}{5} = 0.8$.

2. Проводим через эту точку вертикальную прямую $x = \frac{4}{5}$.

3. Эта прямая пересекает верхнюю полуокружность в точке $P_1$ и нижнюю в точке $P_2$. Координаты этих точек: $P_1(\frac{4}{5}, \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}) = P_1(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ и $P_2(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$.

4. Угол $\angle{XOP_1}$, отсчитанный от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, является углом $\arccos\frac{4}{5}$.

5. Угол, конечная сторона которого проходит через луч $OP_2$, является углом $-\arccos\frac{4}{5}$.

Ответ: Углы строятся на единичной окружности. Для $\arccos\frac{4}{5}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{4}{5}$ с верхней полуокружностью (точка с координатами $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$). Для $-\arccos\frac{4}{5}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{4}{5}$ с нижней полуокружностью (точка с координатами $(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$).

г) Требуется построить углы $\arccos\frac{3}{4}$ и $-\arccos\frac{3}{4}$.

1. Строим единичную окружность. На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = \frac{3}{4} = 0.75$.

2. Проводим через эту точку вертикальную прямую $x = \frac{3}{4}$.

3. Эта прямая пересекает верхнюю полуокружность в точке $P_1$ и нижнюю в точке $P_2$. Координаты этих точек: $P_1(\frac{3}{4}, \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2}) = P_1(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$ и $P_2(\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$.

4. Угол $\angle{XOP_1}$, отсчитанный от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, является углом $\arccos\frac{3}{4}$.

5. Угол, конечная сторона которого проходит через луч $OP_2$, является углом $-\arccos\frac{3}{4}$.

Ответ: Углы строятся на единичной окружности. Для $\arccos\frac{3}{4}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{3}{4}$ с верхней полуокружностью. Для $-\arccos\frac{3}{4}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{3}{4}$ с нижней полуокружностью.