Номер 7.95, страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.7*. Примеры использования арксинуса и арккосинуса - номер 7.95, страница 230.

Условие.

Найдите все такие углы $\alpha$, для каждого из которых (7.95–7.98):

7.95

а) $\sin \alpha > \frac{1}{2}$;

б) $\sin \alpha < \frac{1}{2}$;

в) $\sin \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $\sin \alpha < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

д) $\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

е) $\sin \alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $\sin \alpha > -\frac{1}{2}$;

з) $\sin \alpha < -\frac{1}{2}$;

и) $\sin \alpha > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

к) $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

л) $\sin \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

м) $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)Для решения неравенства $ \sin \alpha > \frac{1}{2} $ воспользуемся тригонометрической окружностью. Синус угла – это ордината (координата y) точки на окружности.
Сначала найдем углы, для которых $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $. Это углы $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ и $ \alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Нам нужны углы, для которых ордината точки на окружности больше $ \frac{1}{2} $. Это дуга, расположенная выше горизонтальной прямой $ y = \frac{1}{2} $. Двигаясь против часовой стрелки, мы видим, что эта дуга начинается в точке $ \frac{\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{5\pi}{6} $.
Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, мы должны добавить $ 2\pi n $ к границам интервала, где $ n $ – любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).
Таким образом, решение неравенства: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)Решим неравенство $ \sin \alpha < \frac{1}{2} $. Граничные углы те же, что и в пункте а): $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Нам нужны углы, для которых ордината точки на окружности меньше $ \frac{1}{2} $. Это дуга, расположенная ниже прямой $ y = \frac{1}{2} $. Двигаясь против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $ \frac{5\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{6} $ следующего оборота, то есть $ \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} $.
С учетом периодичности, получаем интервал от $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $ до $ \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в)Решим неравенство $ \sin \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ и $ \alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то есть между $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $.
С учетом периода $ 2\pi $ общее решение: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)Решим неравенство $ \sin \alpha < \frac{\sqrt{2}}{2} $. Граничные углы: $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{3\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{4} $ следующего оборота, то есть $ \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $.
Общее решение: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

д)Решим неравенство $ \sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $: $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то есть между $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{2\pi}{3} $.
Общее решение: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

е)Решим неравенство $ \sin \alpha < \frac{\sqrt{3}}{2} $. Граничные углы: $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{2\pi}{3} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{2\pi}{3} $ до $ \frac{\pi}{3} $ следующего оборота, то есть $ \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.
Общее решение: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

ж)Решим неравенство $ \sin \alpha > -\frac{1}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $: $ \alpha = -\frac{\pi}{6} $ и $ \alpha = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = -\frac{1}{2} $, то есть между $ -\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $.
Общее решение: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

з)Решим неравенство $ \sin \alpha < -\frac{1}{2} $. Граничные углы: $ -\frac{\pi}{6} $ (или $ \frac{11\pi}{6} $) и $ \frac{7\pi}{6} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = -\frac{1}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{7\pi}{6} $ до $ \frac{11\pi}{6} $.
Общее решение: $ \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

и)Решим неравенство $ \sin \alpha > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $: $ \alpha = -\frac{\pi}{4} $ и $ \alpha = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, то есть между $ -\frac{\pi}{4} $ и $ \frac{5\pi}{4} $.
Общее решение: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

к)Решим неравенство $ \sin \alpha < -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Граничные углы: $ -\frac{\pi}{4} $ (или $ \frac{7\pi}{4} $) и $ \frac{5\pi}{4} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{5\pi}{4} $ до $ \frac{7\pi}{4} $.
Общее решение: $ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

л)Решим неравенство $ \sin \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $: $ \alpha = -\frac{\pi}{3} $ и $ \alpha = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, то есть между $ -\frac{\pi}{3} $ и $ \frac{4\pi}{3} $.
Общее решение: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

м)Решим неравенство $ \sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Граничные углы: $ -\frac{\pi}{3} $ (или $ \frac{5\pi}{3} $) и $ \frac{4\pi}{3} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{4\pi}{3} $ до $ \frac{5\pi}{3} $.
Общее решение: $ \frac{4\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{4\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.