Номер 7.95, страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
7.7*. Примеры использования арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.95, страница 230.
№7.95 (с. 230)
Условие. №7.95 (с. 230)
скриншот условия

Найдите все такие углы $\alpha$, для каждого из которых (7.95–7.98):
7.95
а) $\sin \alpha > \frac{1}{2}$;
б) $\sin \alpha < \frac{1}{2}$;
в) $\sin \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2}$;
г) $\sin \alpha < \frac{\sqrt{2}}{2}$;
д) $\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$;
е) $\sin \alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}$;
ж) $\sin \alpha > -\frac{1}{2}$;
з) $\sin \alpha < -\frac{1}{2}$;
и) $\sin \alpha > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
к) $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
л) $\sin \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
м) $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решение 1. №7.95 (с. 230)












Решение 2. №7.95 (с. 230)

Решение 3. №7.95 (с. 230)

Решение 4. №7.95 (с. 230)

Решение 5. №7.95 (с. 230)
а)Для решения неравенства $ \sin \alpha > \frac{1}{2} $ воспользуемся тригонометрической окружностью. Синус угла – это ордината (координата y) точки на окружности.
Сначала найдем углы, для которых $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $. Это углы $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ и $ \alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Нам нужны углы, для которых ордината точки на окружности больше $ \frac{1}{2} $. Это дуга, расположенная выше горизонтальной прямой $ y = \frac{1}{2} $. Двигаясь против часовой стрелки, мы видим, что эта дуга начинается в точке $ \frac{\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{5\pi}{6} $.
Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, мы должны добавить $ 2\pi n $ к границам интервала, где $ n $ – любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).
Таким образом, решение неравенства: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
б)Решим неравенство $ \sin \alpha < \frac{1}{2} $. Граничные углы те же, что и в пункте а): $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Нам нужны углы, для которых ордината точки на окружности меньше $ \frac{1}{2} $. Это дуга, расположенная ниже прямой $ y = \frac{1}{2} $. Двигаясь против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $ \frac{5\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{6} $ следующего оборота, то есть $ \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} $.
С учетом периодичности, получаем интервал от $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $ до $ \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
в)Решим неравенство $ \sin \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ и $ \alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то есть между $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $.
С учетом периода $ 2\pi $ общее решение: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
г)Решим неравенство $ \sin \alpha < \frac{\sqrt{2}}{2} $. Граничные углы: $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{3\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{4} $ следующего оборота, то есть $ \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $.
Общее решение: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
д)Решим неравенство $ \sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $: $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то есть между $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{2\pi}{3} $.
Общее решение: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
е)Решим неравенство $ \sin \alpha < \frac{\sqrt{3}}{2} $. Граничные углы: $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{2\pi}{3} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{2\pi}{3} $ до $ \frac{\pi}{3} $ следующего оборота, то есть $ \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.
Общее решение: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
ж)Решим неравенство $ \sin \alpha > -\frac{1}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $: $ \alpha = -\frac{\pi}{6} $ и $ \alpha = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = -\frac{1}{2} $, то есть между $ -\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $.
Общее решение: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
з)Решим неравенство $ \sin \alpha < -\frac{1}{2} $. Граничные углы: $ -\frac{\pi}{6} $ (или $ \frac{11\pi}{6} $) и $ \frac{7\pi}{6} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = -\frac{1}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{7\pi}{6} $ до $ \frac{11\pi}{6} $.
Общее решение: $ \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
и)Решим неравенство $ \sin \alpha > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $: $ \alpha = -\frac{\pi}{4} $ и $ \alpha = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, то есть между $ -\frac{\pi}{4} $ и $ \frac{5\pi}{4} $.
Общее решение: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
к)Решим неравенство $ \sin \alpha < -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Граничные углы: $ -\frac{\pi}{4} $ (или $ \frac{7\pi}{4} $) и $ \frac{5\pi}{4} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{5\pi}{4} $ до $ \frac{7\pi}{4} $.
Общее решение: $ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < \alpha < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
л)Решим неравенство $ \sin \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Углы, для которых $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $: $ \alpha = -\frac{\pi}{3} $ и $ \alpha = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} $.
Решению неравенства соответствует дуга окружности выше прямой $ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, то есть между $ -\frac{\pi}{3} $ и $ \frac{4\pi}{3} $.
Общее решение: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
м)Решим неравенство $ \sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Граничные углы: $ -\frac{\pi}{3} $ (или $ \frac{5\pi}{3} $) и $ \frac{4\pi}{3} $.
Решению соответствует дуга ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Эта дуга идет от $ \frac{4\pi}{3} $ до $ \frac{5\pi}{3} $.
Общее решение: $ \frac{4\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{4\pi}{3} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.95 расположенного на странице 230 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.95 (с. 230), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.