Номер 7.101, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.8*. Формулы для арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.101, страница 233.

7.101 Выразите через арккосинус положительного числа:

а) $arccos (-0,1);$

б) $arccos (-0,2);$

в) $arccos (-0,9);$

г) $arccos (3 - \pi);$

д) $arccos \left(-\frac{1}{3}\right);$

е) $arccos \left(-\frac{1}{4}\right).$

а) Для преобразования арккосинуса отрицательного числа используется тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, которое справедливо для $x \in [0, 1]$.
В данном случае $x = 0,1$. Применяя формулу, получаем:
$arccos(-0,1) = \pi - arccos(0,1)$.
Ответ: $\pi - arccos(0,1)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Здесь $x = 0,2$.
$arccos(-0,2) = \pi - arccos(0,2)$.
Ответ: $\pi - arccos(0,2)$.

в) Применяем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Здесь $x = 0,9$.
$arccos(-0,9) = \pi - arccos(0,9)$.
Ответ: $\pi - arccos(0,9)$.

г) Сначала оценим знак выражения под знаком арккосинуса. Поскольку $\pi \approx 3,14159...$, то $3 - \pi$ является отрицательным числом. Область определения арккосинуса $[-1, 1]$, и так как $3 - \pi \approx -0,14$, это значение входит в область определения.
Представим аргумент в виде $-x$, где $x$ положительно: $3 - \pi = -(\pi - 3)$.
Теперь применим тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, где $x = \pi - 3 > 0$.
$arccos(3 - \pi) = arccos(-(\pi - 3)) = \pi - arccos(\pi - 3)$.
Ответ: $\pi - arccos(\pi - 3)$.

д) Используем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
В этом случае $x = \frac{1}{3}$.
$arccos\left(-\frac{1}{3}\right) = \pi - arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.
Ответ: $\pi - arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

е) Применяем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Здесь $x = \frac{1}{4}$.
$arccos\left(-\frac{1}{4}\right) = \pi - arccos\left(\frac{1}{4}\right)$.
Ответ: $\pi - arccos\left(\frac{1}{4}\right)$.