Номер 8.2, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.1. Определение тангенса и котангенса угла - номер 8.2, страница 238.

Условие.

8.2 Для каких углов $\alpha$ не существует:

а) $\operatorname{tg} \alpha$;

б) $\operatorname{ctg} \alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Тангенс угла $\alpha$, обозначаемый как $\operatorname{tg} \alpha$, определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу. Математическая формула для тангенса: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Данное выражение не определено (не существует), когда знаменатель дроби равен нулю. Таким образом, $\operatorname{tg} \alpha$ не существует, если $\cos \alpha = 0$.

Решим тригонометрическое уравнение $\cos \alpha = 0$. Косинус равен нулю для углов, соответствующих точкам на единичной окружности, где абсцисса (координата x) равна нулю. Это точки с углами $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$). Все такие углы можно описать одной общей формулой, так как они повторяются через каждый полуоборот ($\pi$ радиан). Общее решение уравнения имеет вид: $$ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ Здесь $\mathbb{Z}$ — это множество всех целых чисел.

Таким образом, тангенс не существует для всех углов, которые можно представить в виде $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$ не существует для углов $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Котангенс угла $\alpha$, обозначаемый как $\operatorname{ctg} \alpha$, определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу. Математическая формула для котангенса: $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Данное выражение не определено (не существует), когда знаменатель дроби равен нулю. Таким образом, $\operatorname{ctg} \alpha$ не существует, если $\sin \alpha = 0$.

Решим тригонометрическое уравнение $\sin \alpha = 0$. Синус равен нулю для углов, соответствующих точкам на единичной окружности, где ордината (координата y) равна нулю. Это точки с углами $0$ и $\pi$. Все такие углы можно описать одной общей формулой, так как они являются целыми кратными $\pi$. Общее решение уравнения имеет вид: $$ \alpha = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ Здесь $\mathbb{Z}$ — это множество всех целых чисел.

Таким образом, котангенс не существует для всех углов, которые можно представить в виде $\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $\operatorname{ctg} \alpha$ не существует для углов $\alpha = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.