Номер 8.8, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.8, страница 238.

8.8° а) Объясните, как можно определить $tg \alpha$ с помощью оси тангенсов.

б) Для каких углов $\alpha$ существует $tg \alpha$?

в) Какие значения может принимать $tg \alpha$?

а) Объясните, как можно определить tg α с помощью оси тангенсов.

Для определения тангенса угла $\alpha$ с помощью оси тангенсов необходимо выполнить следующие шаги:

1. В системе координат $xOy$ построить единичную окружность с центром в начале координат.
2. Провести прямую, касательную к окружности в точке $(1, 0)$. Эта прямая и называется осью тангенсов. Уравнение этой прямой $x=1$.
3. Отложить от положительного направления оси $Ox$ угол $\alpha$ против часовой стрелки (если $\alpha > 0$) или по часовой стрелке (если $\alpha < 0$). Конечная сторона угла пересечет единичную окружность в некоторой точке $P$.
4. Провести прямую через начало координат (точку $O(0,0)$) и точку $P$.
5. Найти точку пересечения $T$ этой прямой с осью тангенсов.
6. Ордината (координата $y$) точки $T$ и будет равна значению $tg \alpha$.

Это следует из подобия прямоугольных треугольников. Если $P$ имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$, а $T$ имеет координаты $(1, y_T)$, то из подобия треугольников с вершинами $(0,0), (\cos \alpha, 0), P$ и $(0,0), (1,0), T$ следует соотношение: $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y_T}{1}$. Так как по определению $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, то $tg \alpha = y_T$.
Ответ: Значение $tg \alpha$ — это ордината точки пересечения прямой, проходящей через начало координат под углом $\alpha$ к оси $Ox$, с прямой $x=1$ (осью тангенсов).

б) Для каких углов α существует tg α?

Тангенс угла $\alpha$ определяется по формуле $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Дробь имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, тангенс существует для всех углов $\alpha$, для которых $\cos \alpha \neq 0$.

Косинус равен нулю для углов, конечная сторона которых лежит на оси $Oy$. Это углы вида $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Например, при $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$) и $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$), тангенс не существует. С точки зрения оси тангенсов, для этих углов прямая, проходящая через начало координат и точку на окружности, будет параллельна оси тангенсов ($x=1$) и никогда ее не пересечет.
Ответ: $tg \alpha$ существует для всех углов $\alpha$, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Какие значения может принимать tg α?

Рассмотрим поведение тангенса на оси тангенсов. Когда угол $\alpha$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, точка пересечения $T$ на оси тангенсов "пробегает" всю прямую $x=1$ от $-\infty$ до $+\infty$.

• Когда угол $\alpha$ приближается к $-\frac{\pi}{2}$ (например, $-89.9^\circ$), точка $T$ находится очень низко на оси тангенсов, ее ордината стремится к $-\infty$.
• При $\alpha = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$, точка $T$ имеет координаты $(1,0)$, следовательно $tg 0 = 0$.
• Когда угол $\alpha$ приближается к $\frac{\pi}{2}$ (например, $89.9^\circ$), точка $T$ находится очень высоко на оси тангенсов, ее ордината стремится к $+\infty$.

Так как значения тангенса периодически повторяются с периодом $\pi$, то в других интервалах (например, от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$) значения тангенса также будут принимать все возможные действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, область значений функции тангенса — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $tg \alpha$ может принимать любое действительное значение, то есть $tg \alpha \in (-\infty, +\infty)$ или $tg \alpha \in \mathbb{R}$.