Страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1° Что называют: тангенсом угла $ \alpha $; котангенсом угла $ \alpha $?

тангенсом угла α

Тангенс угла $\alpha$ — это одна из основных тригонометрических функций. Его определение может быть дано двумя способами, в зависимости от контекста.

1. В геометрии (для острых углов). В прямоугольном треугольнике тангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине прилежащего катета. Если обозначить противолежащий катет как $a$, а прилежащий как $b$, то:
$\text{tg} \, \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

2. В тригонометрии (общее определение). Для произвольного угла $\alpha$ тангенс определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу.
$\text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Это определение справедливо для всех углов, у которых косинус не равен нулю, то есть при $\cos \alpha \neq 0$. Это соответствует углам $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: Тангенсом угла $\alpha$ называют отношение синуса этого угла к его косинусу. В прямоугольном треугольнике для острого угла это отношение противолежащего катета к прилежащему.

котангенсом угла α

Котангенс угла $\alpha$ — это тригонометрическая функция, тесно связанная с тангенсом (является его обратной величиной).

1. В геометрии (для острых углов). В прямоугольном треугольнике котангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине противолежащего катета. Используя те же обозначения ($a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий):
$\text{ctg} \, \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a}$

2. В тригонометрии (общее определение). Для произвольного угла $\alpha$ котангенс определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу.
$\text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
Это определение справедливо для всех углов, у которых синус не равен нулю, то есть при $\sin \alpha \neq 0$. Это соответствует углам $\alpha \neq \pi n$, где $n$ — любое целое число. Из определения также следует, что $\text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha}$.

Ответ: Котангенсом угла $\alpha$ называют отношение косинуса этого угла к его синусу. В прямоугольном треугольнике для острого угла это отношение прилежащего катета к противолежащему.

8.2 Для каких углов $\alpha$ не существует:

а) $\operatorname{tg} \alpha$;

б) $\operatorname{ctg} \alpha$?

а)

Тангенс угла $\alpha$, обозначаемый как $\operatorname{tg} \alpha$, определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу. Математическая формула для тангенса: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Данное выражение не определено (не существует), когда знаменатель дроби равен нулю. Таким образом, $\operatorname{tg} \alpha$ не существует, если $\cos \alpha = 0$.

Решим тригонометрическое уравнение $\cos \alpha = 0$. Косинус равен нулю для углов, соответствующих точкам на единичной окружности, где абсцисса (координата x) равна нулю. Это точки с углами $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$). Все такие углы можно описать одной общей формулой, так как они повторяются через каждый полуоборот ($\pi$ радиан). Общее решение уравнения имеет вид: $$ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ Здесь $\mathbb{Z}$ — это множество всех целых чисел.

Таким образом, тангенс не существует для всех углов, которые можно представить в виде $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$ не существует для углов $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Котангенс угла $\alpha$, обозначаемый как $\operatorname{ctg} \alpha$, определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу. Математическая формула для котангенса: $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Данное выражение не определено (не существует), когда знаменатель дроби равен нулю. Таким образом, $\operatorname{ctg} \alpha$ не существует, если $\sin \alpha = 0$.

Решим тригонометрическое уравнение $\sin \alpha = 0$. Синус равен нулю для углов, соответствующих точкам на единичной окружности, где ордината (координата y) равна нулю. Это точки с углами $0$ и $\pi$. Все такие углы можно описать одной общей формулой, так как они являются целыми кратными $\pi$. Общее решение уравнения имеет вид: $$ \alpha = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ Здесь $\mathbb{Z}$ — это множество всех целых чисел.

Таким образом, котангенс не существует для всех углов, которые можно представить в виде $\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $\operatorname{ctg} \alpha$ не существует для углов $\alpha = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

8.3 а) Если для угла $ \alpha $ существует $ \text{tg} \, \alpha $, то единственный ли он?

б) Если для угла $ \alpha $ существует $ \text{ctg} \, \alpha $, то единственный ли он?

а)
Да, если для угла $\alpha$ существует тангенс, то его значение является единственным.

Тангенс угла $\alpha$ по определению является тригонометрической функцией, которая вычисляется как отношение синуса этого угла к его косинусу:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Для любого заданного угла $\alpha$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ определяются однозначно. Например, для угла $\alpha = 30^\circ$ существует только одно значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ и только одно значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тангенс $\tg \alpha$ существует, если его знаменатель не равен нулю, то есть $\cos \alpha \neq 0$. Это условие выполняется для всех углов, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число (например, $90^\circ, 270^\circ$ и т.д.).

Если это условие выполнено, то для нахождения $\tg \alpha$ мы делим одно единственное число ($\sin \alpha$) на другое единственное число ($\cos \alpha$). Результат такого деления всегда будет одним и тем же, то есть единственным числом. Таким образом, тригонометрическая функция тангенс, как и любая другая функция, сопоставляет каждому значению аргумента (углу $\alpha$ из области определения) единственное значение самой функции.

Ответ: да, он единственный.

б)
Да, если для угла $\alpha$ существует котангенс, то его значение также является единственным.

Котангенс угла $\alpha$ по определению является тригонометрической функцией, которая вычисляется как отношение косинуса этого угла к его синусу:
$\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Рассуждения здесь полностью аналогичны случаю с тангенсом. Для любого заданного угла $\alpha$ значения $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ определяются однозначно.

Котангенс $\ctg \alpha$ существует, если его знаменатель не равен нулю, то есть $\sin \alpha \neq 0$. Это условие выполняется для всех углов, кроме $\alpha = \pi k$, где $k$ - любое целое число (например, $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$ и т.д.).

Если это условие выполнено, то для нахождения $\ctg \alpha$ мы делим одно единственное число ($\cos \alpha$) на другое единственное число ($\sin \alpha$). Результат такого деления всегда будет одним и тем же, то есть единственным числом. Таким образом, тригонометрическая функция котангенс сопоставляет каждому значению аргумента (углу $\alpha$ из области определения) единственное значение самой функции.

Ответ: да, он единственный.

Вычислите (8.4—8.6):

8.4

а) $tg 0$; б) $tg 30^\circ$; в) $tg \frac{\pi}{4}$; г) $tg 60^\circ$;
д) $ctg \frac{\pi}{6}$; е) $ctg 45^\circ$; ж) $ctg \frac{\pi}{3}$; з) $ctg 90^\circ$.

а) Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$. Для угла $0$ (в градусах или радианах) имеем: $sin(0) = 0$ и $cos(0) = 1$. Следовательно, $tg(0) = \frac{sin(0)}{cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$. Ответ: $0$.

б) Для вычисления тангенса угла $30°$ воспользуемся значениями синуса и косинуса для этого угла: $sin(30°) = \frac{1}{2}$ и $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда тангенс равен: $tg(30°) = \frac{sin(30°)}{cos(30°)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45°$. Значения синуса и косинуса для этого угла совпадают: $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $tg(\frac{\pi}{4}) = \frac{sin(\frac{\pi}{4})}{cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$. Ответ: $1$.

г) Для угла $60°$ значения синуса и косинуса равны: $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(60°) = \frac{1}{2}$. Тогда тангенс равен: $tg(60°) = \frac{sin(60°)}{cos(60°)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$.

д) Котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30°$. Для этого угла имеем: $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{6}) = \frac{cos(\frac{\pi}{6})}{sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$.

е) Для угла $45°$ значения синуса и косинуса равны: $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда котангенс равен: $ctg(45°) = \frac{cos(45°)}{sin(45°)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$. Ответ: $1$.

ж) Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен $60°$. Для этого угла имеем: $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{cos(\frac{\pi}{3})}{sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

з) Для угла $90°$ значения косинуса и синуса равны: $cos(90°) = 0$ и $sin(90°) = 1$. Тогда котангенс равен: $ctg(90°) = \frac{cos(90°)}{sin(90°)} = \frac{0}{1} = 0$. Ответ: $0$.

8.5 a) $ \text{tg } 0^\circ + \text{ctg } 45^\circ - \text{tg } 45^\circ + \text{ctg } 30^\circ; $

б) $ \text{ctg } \frac{\pi}{2} - \text{tg } \frac{\pi}{3} + \text{ctg } \frac{\pi}{4} - \text{tg } \frac{\pi}{6}. $

а) Для вычисления значения выражения $ \operatorname{tg} 0^\circ + \operatorname{ctg} 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{ctg} 30^\circ $ необходимо найти значения каждого из тригонометрических слагаемых. Используем известные табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов:
$ \operatorname{tg} 0^\circ = 0 $
$ \operatorname{ctg} 45^\circ = 1 $
$ \operatorname{tg} 45^\circ = 1 $
$ \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3} $
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$ 0 + 1 - 1 + \sqrt{3} $
Слагаемые $ +1 $ и $ -1 $ взаимно уничтожаются, поэтому получаем:
$ 0 + 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3} $
Ответ: $ \sqrt{3} $

б) Для вычисления значения выражения $ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} $ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций для углов, заданных в радианах:
$ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0 $ (соответствует $ 90^\circ $)
$ \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $ (соответствует $ 60^\circ $)
$ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 $ (соответствует $ 45^\circ $)
$ \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $ (соответствует $ 30^\circ $)
Подставим найденные значения в выражение:
$ 0 - \sqrt{3} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} $
Сгруппируем слагаемые и выполним вычисления:
$ 1 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - (\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) $
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:
$ 1 - (\frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 - \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} $
Ответ: $ 1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} $

8.6 a) $ \text{tg } 180^{\circ}$;

б) $ \text{tg } 2\pi$;

в) $ \text{ctg } 270^{\circ}$;

г) $ \text{tg } (-\pi)$;

д) $ \text{ctg } (-45^{\circ})$;

е) $ \text{tg } \left(-\frac{\pi}{4}\right)$;

ж) $ \text{ctg } 135^{\circ}$;

з) $ \text{ctg } \left(-\frac{\pi}{3}\right)$.

а) tg 180°
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$. На единичной окружности углу $180^\circ$ соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Таким образом, $sin(180^\circ) = 0$ и $cos(180^\circ) = -1$. $tg(180^\circ) = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0

б) tg 2π
Угол $2\pi$ радиан соответствует полному обороту ($360^\circ$), поэтому его значение совпадает со значением для угла 0. $tg(2\pi) = tg(0)$. На единичной окружности углу 0 радиан соответствует точка с координатами $(1, 0)$. $sin(0) = 0$ и $cos(0) = 1$. $tg(0) = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: 0

в) ctg 270°
Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$. На единичной окружности углу $270^\circ$ (или $\frac{3\pi}{2}$ радиан) соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Таким образом, $cos(270^\circ) = 0$ и $sin(270^\circ) = -1$. $ctg(270^\circ) = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0

г) tg (–π)
Тангенс является нечетной функцией, то есть $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$. Также тангенс имеет период $\pi$, то есть $tg(\alpha + \pi k) = tg(\alpha)$ для любого целого $k$. Используя периодичность: $tg(-\pi) = tg(-\pi + \pi) = tg(0) = 0$. Или используя свойство нечетности: $tg(-\pi) = -tg(\pi) = -0 = 0$.
Ответ: 0

д) ctg (–45°)
Котангенс является нечетной функцией, то есть $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. $ctg(-45^\circ) = -ctg(45^\circ)$. Значение $ctg(45^\circ)$ является табличным и равно 1. Следовательно, $ctg(-45^\circ) = -1$.
Ответ: –1

е) tg (–π/4)
Тангенс является нечетной функцией: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$. Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45^\circ$. $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4})$. Значение $tg(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно 1. Следовательно, $tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
Ответ: –1

ж) ctg 135°
Используем формулу приведения. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти. $ctg(135^\circ) = ctg(180^\circ - 45^\circ)$. Во второй четверти котангенс отрицателен, поэтому $ctg(180^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$. $ctg(135^\circ) = -ctg(45^\circ) = -1$.
Ответ: –1

з) ctg (–π/3)
Котангенс является нечетной функцией: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен $60^\circ$. $ctg(-\frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3})$. Значение $ctg(\frac{\pi}{3})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$. $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{cos(\frac{\pi}{3})}{sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $ctg(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $–\frac{\sqrt{3}}{3}$

8.7 Какие знаки имеют тангенс и котангенс угла $\alpha$, если точка единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$, расположена: в I четверти; во II четверти; в III четверти; в IV четверти?

Чтобы определить знаки тангенса и котангенса угла $\alpha$, необходимо рассмотреть знаки синуса и косинуса этого угла в каждой из координатных четвертей. На единичной окружности точке, соответствующей углу $\alpha$, соответствуют координаты $(x, y)$, где $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

Тангенс угла определяется по формуле $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}$.

Котангенс угла определяется по формуле $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{y}$.

Знак тангенса и котангенса зависит от знаков $x$ и $y$ в каждой четверти. Поскольку тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами ($\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$), они всегда имеют одинаковые знаки.

в I четверти

В I четверти (углы от 0° до 90°) обе координаты точки на единичной окружности положительны: $x > 0$ (косинус положителен) и $y > 0$ (синус положителен).
Следовательно:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{(+)}{(+)} > 0$ (положителен).
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{(+)}{(+)} > 0$ (положителен).
Ответ: в I четверти тангенс и котангенс имеют знак «плюс» (+).

во II четверти

Во II четверти (углы от 90° до 180°) абсцисса точки отрицательна, а ордината положительна: $x < 0$ (косинус отрицателен) и $y > 0$ (синус положителен).
Следовательно:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{(+)}{(-)} < 0$ (отрицателен).
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{(-)}{(+)} < 0$ (отрицателен).
Ответ: во II четверти тангенс и котангенс имеют знак «минус» (–).

в III четверти

В III четверти (углы от 180° до 270°) обе координаты точки отрицательны: $x < 0$ (косинус отрицателен) и $y < 0$ (синус отрицателен).
Следовательно:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{(-)}{(-)} > 0$ (положителен).
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{(-)}{(-)} > 0$ (положителен).
Ответ: в III четверти тангенс и котангенс имеют знак «плюс» (+).

в IV четверти

В IV четверти (углы от 270° до 360°) абсцисса точки положительна, а ордината отрицательна: $x > 0$ (косинус положителен) и $y < 0$ (синус отрицателен).
Следовательно:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{(-)}{(+)} < 0$ (отрицателен).
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{(+)}{(-)} < 0$ (отрицателен).
Ответ: в IV четверти тангенс и котангенс имеют знак «минус» (–).

8.8° а) Объясните, как можно определить $tg \alpha$ с помощью оси тангенсов.

б) Для каких углов $\alpha$ существует $tg \alpha$?

в) Какие значения может принимать $tg \alpha$?

а) Объясните, как можно определить tg α с помощью оси тангенсов.

Для определения тангенса угла $\alpha$ с помощью оси тангенсов необходимо выполнить следующие шаги:

1. В системе координат $xOy$ построить единичную окружность с центром в начале координат.
2. Провести прямую, касательную к окружности в точке $(1, 0)$. Эта прямая и называется осью тангенсов. Уравнение этой прямой $x=1$.
3. Отложить от положительного направления оси $Ox$ угол $\alpha$ против часовой стрелки (если $\alpha > 0$) или по часовой стрелке (если $\alpha < 0$). Конечная сторона угла пересечет единичную окружность в некоторой точке $P$.
4. Провести прямую через начало координат (точку $O(0,0)$) и точку $P$.
5. Найти точку пересечения $T$ этой прямой с осью тангенсов.
6. Ордината (координата $y$) точки $T$ и будет равна значению $tg \alpha$.

Это следует из подобия прямоугольных треугольников. Если $P$ имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$, а $T$ имеет координаты $(1, y_T)$, то из подобия треугольников с вершинами $(0,0), (\cos \alpha, 0), P$ и $(0,0), (1,0), T$ следует соотношение: $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y_T}{1}$. Так как по определению $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, то $tg \alpha = y_T$.
Ответ: Значение $tg \alpha$ — это ордината точки пересечения прямой, проходящей через начало координат под углом $\alpha$ к оси $Ox$, с прямой $x=1$ (осью тангенсов).

б) Для каких углов α существует tg α?

Тангенс угла $\alpha$ определяется по формуле $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Дробь имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, тангенс существует для всех углов $\alpha$, для которых $\cos \alpha \neq 0$.

Косинус равен нулю для углов, конечная сторона которых лежит на оси $Oy$. Это углы вида $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Например, при $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$) и $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$), тангенс не существует. С точки зрения оси тангенсов, для этих углов прямая, проходящая через начало координат и точку на окружности, будет параллельна оси тангенсов ($x=1$) и никогда ее не пересечет.
Ответ: $tg \alpha$ существует для всех углов $\alpha$, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Какие значения может принимать tg α?

Рассмотрим поведение тангенса на оси тангенсов. Когда угол $\alpha$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, точка пересечения $T$ на оси тангенсов "пробегает" всю прямую $x=1$ от $-\infty$ до $+\infty$.

• Когда угол $\alpha$ приближается к $-\frac{\pi}{2}$ (например, $-89.9^\circ$), точка $T$ находится очень низко на оси тангенсов, ее ордината стремится к $-\infty$.
• При $\alpha = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$, точка $T$ имеет координаты $(1,0)$, следовательно $tg 0 = 0$.
• Когда угол $\alpha$ приближается к $\frac{\pi}{2}$ (например, $89.9^\circ$), точка $T$ находится очень высоко на оси тангенсов, ее ордината стремится к $+\infty$.

Так как значения тангенса периодически повторяются с периодом $\pi$, то в других интервалах (например, от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$) значения тангенса также будут принимать все возможные действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, область значений функции тангенса — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $tg \alpha$ может принимать любое действительное значение, то есть $tg \alpha \in (-\infty, +\infty)$ или $tg \alpha \in \mathbb{R}$.

8.9 Отметьте на оси тангенсов точки, соответствующие числам:

$0$; $1$; $-1$; $2$; $-2$; $\sqrt{3}$; $-\sqrt{3}$; $\frac{\sqrt{3}}{3}$; $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ось тангенсов — это вертикальная прямая, которая касается единичной окружности в точке $(1, 0)$. Уравнение этой прямой $x=1$. Значение тангенса угла $\alpha$ равно ординате (координате $y$) точки пересечения конечной стороны угла $\alpha$ (проведенной из начала координат) с этой прямой. Таким образом, чтобы отметить на оси тангенсов точки, соответствующие заданным числам, нужно отметить на вертикальной прямой $x=1$ точки с ординатами, равными этим числам.

Рассмотрим каждую точку:
0: Точка, соответствующая числу 0, имеет координаты $(1, 0)$. Это точка касания оси тангенсов и единичной окружности. Она соответствует углу $\alpha=0$ радиан (или $0^\circ$), так как $\tan(0)=0$.
1: Точка, соответствующая числу 1, имеет координаты $(1, 1)$. Она находится на 1 единицу выше точки $(1, 0)$. Эта точка соответствует углу $\alpha=\frac{\pi}{4}$ радиан (или $45^\circ$), так как $\tan(\frac{\pi}{4})=1$.
-1: Точка, соответствующая числу -1, имеет координаты $(1, -1)$. Она находится на 1 единицу ниже точки $(1, 0)$. Эта точка соответствует углу $\alpha=-\frac{\pi}{4}$ радиан (или $-45^\circ$), так как $\tan(-\frac{\pi}{4})=-1$.
2: Точка, соответствующая числу 2, имеет координаты $(1, 2)$. Она находится на 2 единицы выше точки $(1, 0)$.
-2: Точка, соответствующая числу -2, имеет координаты $(1, -2)$. Она находится на 2 единицы ниже точки $(1, 0)$.
$\sqrt{3}$: Точка, соответствующая числу $\sqrt{3}$, имеет координаты $(1, \sqrt{3})$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, эта точка расположена выше точки 1, но ниже точки 2. Она соответствует углу $\alpha=\frac{\pi}{3}$ радиан (или $60^\circ$), так как $\tan(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}$.
$-\sqrt{3}$: Точка, соответствующая числу $-\sqrt{3}$, имеет координаты $(1, -\sqrt{3})$. Так как $-\sqrt{3} \approx -1.732$, эта точка расположена ниже точки -1, но выше точки -2. Она соответствует углу $\alpha=-\frac{\pi}{3}$ радиан (или $-60^\circ$), так как $\tan(-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}$.
$\frac{\sqrt{3}}{3}$: Точка, соответствующая числу $\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеет координаты $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$, эта точка расположена выше точки 0, но ниже точки 1. Она соответствует углу $\alpha=\frac{\pi}{6}$ радиан (или $30^\circ$), так как $\tan(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$: Точка, соответствующая числу $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеет координаты $(1, -\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577$, эта точка расположена ниже точки 0, но выше точки -1. Она соответствует углу $\alpha=-\frac{\pi}{6}$ радиан (или $-30^\circ$), так как $\tan(-\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

Точки на оси тангенсов (вертикальная прямая $x=1$) располагаются в соответствии с их числовыми значениями. Начало отсчета соответствует числу 0 и находится в точке $(1, 0)$. Положительные числа откладываются вверх, отрицательные — вниз. Для отметки заданных точек необходимо расположить их на этой оси согласно их величине. Порядок точек на оси снизу вверх будет следующим, что соответствует их расположению на числовой прямой:
$-2, -\sqrt{3}, -1, -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3}, 2$.
Для более точного расположения можно использовать их приблизительные десятичные значения: $-2; \approx -1.732; -1; \approx -0.577; 0; \approx 0.577; 1; \approx 1.732; 2$.

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам α, для каждого из которых выполняется равенство (8.10–8.11):

а) $tg \alpha = 1$; б) $tg \alpha = 2$; в) $tg \alpha = 3$;

г) $tg \alpha = 4$; д) $tg \alpha = \frac{1}{2}$; е) $tg \alpha = \frac{1}{3}$.

Для того чтобы отметить на единичной окружности точки, соответствующие углам $\alpha$, для которых выполняется равенство $\text{tg } \alpha = k$, используется геометрическая интерпретация тангенса с помощью оси тангенсов. Алгоритм действий следующий:

1. В декартовой системе координат рисуется единичная окружность с центром в точке $O(0, 0)$.

2. Проводится прямая, касательная к окружности в точке $(1, 0)$. Уравнение этой прямой — $x=1$. Эта прямая называется осью тангенсов.

3. На оси тангенсов ($x=1$) отмечается точка $T$ с ординатой (y-координатой), равной заданному значению тангенса $k$. Таким образом, точка $T$ имеет координаты $(1, k)$.

4. Через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, k)$ проводится прямая.

5. Точки, в которых эта прямая пересекает единичную окружность, и являются искомыми. Так как тангенс имеет период $\pi$, всегда будет две диаметрально противоположные точки пересечения.

а) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 1$.

На оси тангенсов (прямой $x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=1$. Координаты этой точки $T(1, 1)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 1)$. Эта прямая, заданная уравнением $y=x$, является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она пересекает единичную окружность в двух точках: в первой четверти, что соответствует углу $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$ (или 45°), и в третьей четверти, что соответствует углу $\alpha_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ (или 225°). Координаты этих точек $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ соответственно.

Ответ: Искомые точки — это концы диаметра, лежащего на прямой $y=x$. Одна точка находится в первой четверти и соответствует углу $\frac{\pi}{4}$, другая — в третьей четверти и соответствует углу $\frac{5\pi}{4}$.

б) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 2$.

На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=2$, то есть точку $T(1, 2)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 2)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(2)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(2) + \pi$.

Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 2)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.

в) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 3$.

На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=3$, то есть точку $T(1, 3)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 3)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(3)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(3) + \pi$.

Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 3)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.

г) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 4$.

На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=4$, то есть точку $T(1, 4)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 4)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(4)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(4) + \pi$.

Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 4)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.

д) Для уравнения $\text{tg } \alpha =