Номер 8.4, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.4, страница 238.

Вычислите (8.4—8.6):

8.4

а) $tg 0$; б) $tg 30^\circ$; в) $tg \frac{\pi}{4}$; г) $tg 60^\circ$;
д) $ctg \frac{\pi}{6}$; е) $ctg 45^\circ$; ж) $ctg \frac{\pi}{3}$; з) $ctg 90^\circ$.

а) Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$. Для угла $0$ (в градусах или радианах) имеем: $sin(0) = 0$ и $cos(0) = 1$. Следовательно, $tg(0) = \frac{sin(0)}{cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$. Ответ: $0$.

б) Для вычисления тангенса угла $30°$ воспользуемся значениями синуса и косинуса для этого угла: $sin(30°) = \frac{1}{2}$ и $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда тангенс равен: $tg(30°) = \frac{sin(30°)}{cos(30°)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45°$. Значения синуса и косинуса для этого угла совпадают: $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $tg(\frac{\pi}{4}) = \frac{sin(\frac{\pi}{4})}{cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$. Ответ: $1$.

г) Для угла $60°$ значения синуса и косинуса равны: $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(60°) = \frac{1}{2}$. Тогда тангенс равен: $tg(60°) = \frac{sin(60°)}{cos(60°)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$.

д) Котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30°$. Для этого угла имеем: $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{6}) = \frac{cos(\frac{\pi}{6})}{sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$.

е) Для угла $45°$ значения синуса и косинуса равны: $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда котангенс равен: $ctg(45°) = \frac{cos(45°)}{sin(45°)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$. Ответ: $1$.

ж) Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен $60°$. Для этого угла имеем: $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{cos(\frac{\pi}{3})}{sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

з) Для угла $90°$ значения косинуса и синуса равны: $cos(90°) = 0$ и $sin(90°) = 1$. Тогда котангенс равен: $ctg(90°) = \frac{cos(90°)}{sin(90°)} = \frac{0}{1} = 0$. Ответ: $0$.