Номер 7.104, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.8*. Формулы для арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.104, страница 233.

7.104* а) $ \arcsin (\sin 9); $

б) $ \arccos (\cos 9); $

в) $ \arcsin (\sin (-8)); $

г) $ \arccos (\cos (-8)); $

д) $ \arcsin (\sin (-3)); $

е) $ \arccos (\cos (-3)). $

а)

По определению, значение функции арксинус должно лежать в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Наша задача — найти такое число $x$, что $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $\sin(x) = \sin(9)$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол 9 радиан. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$:
$2\pi \approx 6.28$
$3\pi \approx 9.42$
Поскольку $2\pi < 9 < 3\pi$, угол 9 находится во второй или третьей четверти. Точнее, $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$, значит $\frac{5\pi}{2} < 9 < 3\pi$, что соответствует второй четверти. Синус в этой четверти положителен.

Мы ищем эквивалентный угол в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем свойство периодичности синуса $\sin(\alpha) = \sin(\alpha + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.
$\sin(9) = \sin(9 - 2\pi)$.
Значение $9 - 2\pi \approx 9 - 6.28 = 2.72$. Это значение не попадает в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$.
Однако угол $9 - 2\pi$ также находится во второй четверти (так как $\frac{\pi}{2} < 2.72 < \pi$), где синус положителен. Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$.
$\sin(9 - 2\pi) = \sin(\pi - (9 - 2\pi)) = \sin(\pi - 9 + 2\pi) = \sin(3\pi - 9)$.
Проверим значение $3\pi - 9$: $3\pi - 9 \approx 9.42 - 9 = 0.42$.
Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, так как $-1.57 < 0.42 < 1.57$.
Таким образом, $\arcsin(\sin 9) = 3\pi - 9$.

Ответ: $3\pi - 9$

б)

По определению, значение функции арккосинус должно лежать в отрезке $[0, \pi]$. Наша задача — найти такое число $x$, что $x \in [0, \pi]$ и $\cos(x) = \cos(9)$.

Используем свойство периодичности косинуса $\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.
Мы ищем такое целое $k$, чтобы значение $\pm 9 + 2k\pi$ попало в отрезок $[0, \pi]$.
Рассмотрим вариант $9 + 2k\pi$:
При $k = -1$: $9 - 2\pi \approx 9 - 6.28 = 2.72$.
Проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$. Да, $0 < 2.72 < 3.14$.
Другие варианты (например, $-9 + 2k\pi$ или другие значения $k$) не дадут результата в нужном диапазоне.
Таким образом, $\arccos(\cos 9) = 9 - 2\pi$.

Ответ: $9 - 2\pi$

в)

Значение арксинуса должно лежать в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-8) = -\sin(8)$.
Тогда $\arcsin(\sin(-8)) = \arcsin(-\sin(8))$.
Используем свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$:
$\arcsin(-\sin(8)) = -\arcsin(\sin(8))$.
Теперь найдем $\arcsin(\sin(8))$. Ищем $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ такой, что $\sin(x) = \sin(8)$.
$8 - 2\pi \approx 8 - 6.28 = 1.72$. Это не в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем формулу $\sin(\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$: $\sin(8) = \sin(8 - 2\pi) = \sin(\pi - (8 - 2\pi)) = \sin(3\pi - 8)$.
$3\pi - 8 \approx 9.42 - 8 = 1.42$. Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin(\sin(8)) = 3\pi - 8$.
Возвращаясь к исходному выражению: $-\arcsin(\sin(8)) = -(3\pi - 8) = 8 - 3\pi$.

Ответ: $8 - 3\pi$

г)

Значение арккосинуса должно лежать в отрезке $[0, \pi]$.
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-8) = \cos(8)$.
Следовательно, $\arccos(\cos(-8)) = \arccos(\cos(8))$.
Эта задача аналогична пункту б) с заменой 9 на 8.
Ищем $x \in [0, \pi]$ такой, что $\cos(x) = \cos(8)$.
$\cos(8) = \cos(8 - 2\pi)$.
$8 - 2\pi \approx 8 - 6.28 = 1.72$.
Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$.
Таким образом, $\arccos(\cos(-8)) = 8 - 2\pi$.

Ответ: $8 - 2\pi$

д)

Значение арксинуса должно лежать в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем нечетность синуса и арксинуса:
$\arcsin(\sin(-3)) = -\arcsin(\sin(3))$.
Теперь найдем $\arcsin(\sin(3))$. Ищем $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ такой, что $\sin(x) = \sin(3)$.
Угол 3 радиана находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$).
Используем формулу $\sin(\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$:
$\sin(3) = \sin(\pi - 3)$.
Значение $\pi - 3 \approx 3.14 - 3 = 0.14$. Оно принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin(\sin(3)) = \pi - 3$.
Возвращаясь к исходному выражению: $-(\pi - 3) = 3 - \pi$.

Ответ: $3 - \pi$

е)

Значение арккосинуса должно лежать в отрезке $[0, \pi]$.
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-3) = \cos(3)$.
Следовательно, $\arccos(\cos(-3)) = \arccos(\cos(3))$.
Проверим, принадлежит ли значение 3 отрезку $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$. Да, $0 < 3 < 3.14$.
Поскольку аргумент косинуса уже находится в области значений арккосинуса, то по определению $\arccos(\cos(x)) = x$ для $x \in [0, \pi]$.
Таким образом, $\arccos(\cos(3)) = 3$.

Ответ: $3$