Страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.99 Запишите формулы для арксинуса и арккосинуса.

Арксинус числа $a$, обозначаемый как $\arcsin a$, — это значение угла $x$ (в радианах), для которого одновременно выполняются два условия:

1. $\sin x = a$
2. $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$

Арксинус является функцией, обратной к синусу, с областью значений, ограниченной отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Основные формулы и свойства:

• Область определения: $D(\arcsin) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(\arcsin) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• Основное тождество: $\sin(\arcsin x) = x$ при $x \in [-1, 1]$.
• Нечетность: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$.
• Связь с арккосинусом: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$.
• Производная: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ при $x \in (-1, 1)$.
• Интеграл: $\int \arcsin x \,dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.

Ответ: Основные формулы для арксинуса: определение $y = \arcsin x \iff (\sin y = x$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2})$; тождество $\sin(\arcsin x) = x$ для $x \in [-1, 1]$; свойство нечетности $\arcsin(-x) = -\arcsin x$; тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.

Арккосинус числа $a$, обозначаемый как $\arccos a$, — это значение угла $x$ (в радианах), для которого одновременно выполняются два условия:

1. $\cos x = a$
2. $0 \le x \le \pi$

Арккосинус является функцией, обратной к косинусу, с областью значений, ограниченной отрезком $[0, \pi]$.

Основные формулы и свойства:

• Область определения: $D(\arccos) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(\arccos) = [0, \pi]$.
• Основное тождество: $\cos(\arccos x) = x$ при $x \in [-1, 1]$.
• Соотношение для отрицательного аргумента: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
• Связь с арксинусом: $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$.
• Производная: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ при $x \in (-1, 1)$.
• Интеграл: $\int \arccos x \,dx = x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.

Ответ: Основные формулы для арккосинуса: определение $y = \arccos x \iff (\cos y = x$ и $0 \le y \le \pi)$; тождество $\cos(\arccos x) = x$ для $x \in [-1, 1]$; формула $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$; тождество $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$.

7.100 Выразите через арксинус положительного числа:

а) $\arcsin (-0.1);$

б) $\arcsin (-0.2);$

в) $\arcsin (-0.9);$

г) $\arcsin (3 - \pi);$

д) $\arcsin \left(-\frac{1}{3}\right);$

е) $\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right).$

а)

Для решения задачи используется свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $ для любого $ x \in [-1, 1] $.

Применим это свойство к данному выражению:

$ \arcsin(-0,1) = -\arcsin(0,1) $.

В полученном выражении аргумент арксинуса $ 0,1 $ является положительным числом, что соответствует условию задачи.

Ответ: $ -\arcsin(0,1) $.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство нечетности функции арксинус $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin(-0,2) = -\arcsin(0,2) $.

Аргумент $ 0,2 $ — положительное число.

Ответ: $ -\arcsin(0,2) $.

в)

Используем то же свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin(-0,9) = -\arcsin(0,9) $.

Аргумент $ 0,9 $ — положительное число.

Ответ: $ -\arcsin(0,9) $.

г)

Сначала оценим значение выражения в скобках: $ 3 - \pi $.

Мы знаем, что $ \pi \approx 3,14159 $, поэтому $ 3 - \pi $ является отрицательным числом. Также значение $ 3 - \pi \approx -0,14159 $ находится в области определения арксинуса, то есть в интервале $ [-1, 1] $.

Преобразуем выражение в скобках, вынеся знак минус: $ 3 - \pi = -(\pi - 3) $.

Теперь воспользуемся свойством нечетности арксинуса $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $:

$ \arcsin(3 - \pi) = \arcsin(-(\pi - 3)) = -\arcsin(\pi - 3) $.

Поскольку $ \pi > 3 $, выражение $ \pi - 3 $ является положительным.

Ответ: $ -\arcsin(\pi - 3) $.

д)

Используем свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $.

Аргумент $ \frac{1}{3} $ — положительное число.

Ответ: $ -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $.

е)

Используем свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{4}\right) $.

Аргумент $ \frac{1}{4} $ — положительное число.

Ответ: $ -\arcsin\left(\frac{1}{4}\right) $.

7.101 Выразите через арккосинус положительного числа:

а) $arccos (-0,1);$

б) $arccos (-0,2);$

в) $arccos (-0,9);$

г) $arccos (3 - \pi);$

д) $arccos \left(-\frac{1}{3}\right);$

е) $arccos \left(-\frac{1}{4}\right).$

а) Для преобразования арккосинуса отрицательного числа используется тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, которое справедливо для $x \in [0, 1]$.
В данном случае $x = 0,1$. Применяя формулу, получаем:
$arccos(-0,1) = \pi - arccos(0,1)$.
Ответ: $\pi - arccos(0,1)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Здесь $x = 0,2$.
$arccos(-0,2) = \pi - arccos(0,2)$.
Ответ: $\pi - arccos(0,2)$.

в) Применяем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Здесь $x = 0,9$.
$arccos(-0,9) = \pi - arccos(0,9)$.
Ответ: $\pi - arccos(0,9)$.

г) Сначала оценим знак выражения под знаком арккосинуса. Поскольку $\pi \approx 3,14159...$, то $3 - \pi$ является отрицательным числом. Область определения арккосинуса $[-1, 1]$, и так как $3 - \pi \approx -0,14$, это значение входит в область определения.
Представим аргумент в виде $-x$, где $x$ положительно: $3 - \pi = -(\pi - 3)$.
Теперь применим тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, где $x = \pi - 3 > 0$.
$arccos(3 - \pi) = arccos(-(\pi - 3)) = \pi - arccos(\pi - 3)$.
Ответ: $\pi - arccos(\pi - 3)$.

д) Используем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
В этом случае $x = \frac{1}{3}$.
$arccos\left(-\frac{1}{3}\right) = \pi - arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.
Ответ: $\pi - arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

е) Применяем тождество $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Здесь $x = \frac{1}{4}$.
$arccos\left(-\frac{1}{4}\right) = \pi - arccos\left(\frac{1}{4}\right)$.
Ответ: $\pi - arccos\left(\frac{1}{4}\right)$.

Вычислите (7.102–7.104):

7.102

а) $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$;

б) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$;

в) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

г) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

д) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

е) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

а)

По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это такое число (угол) $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.
Для вычисления арксинуса отрицательного числа используется свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
Применим это свойство к данному выражению:
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2})$
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляя это значение, получаем:
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

б)

По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это такое число (угол) $x$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.
Для вычисления арккосинуса отрицательного числа используется свойство: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
Применим это свойство:
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$
Из таблицы значений мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляя это значение, получаем:
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

в)

Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Тогда $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

г)

Используем свойство для арккосинуса отрицательного числа: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Тогда $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

д)

Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Тогда $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

е)

Используем свойство для арккосинуса отрицательного числа: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Тогда $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

7.103 а) $ \arcsin \left(\sin \frac{\pi}{3}\right); $

б) $ \arccos \left(\cos \frac{\pi}{3}\right); $

в) $ \arcsin \left(\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right); $

г) $ \arccos \left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right); $

д) $ \arcsin \left(\sin \frac{5\pi}{6}\right); $

е) $ \arccos \left(\cos \frac{5\pi}{6}\right); $

ж) $ \arcsin \left(\sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right); $

з) $ \arccos \left(\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right); $

и) $ \arccos \left(\cos \frac{7\pi}{4}\right). $

а) По определению арксинуса, `$\arcsin(\sin \alpha) = \alpha$` только в том случае, если `$\alpha$` принадлежит отрезку `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Угол `$\frac{\pi}{3}$` принадлежит этому отрезку, так как `$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$`. Следовательно, `$\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{3}$`.

б) По определению арккосинуса, `$\arccos(\cos \alpha) = \alpha$` только в том случае, если `$\alpha$` принадлежит отрезку `$[0; \pi]$`. Угол `$\frac{\pi}{3}$` принадлежит этому отрезку. Следовательно, `$\arccos\left(\cos\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{3}$`.

в) Область значений арксинуса — это отрезок `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Угол `$-\frac{\pi}{4}$` принадлежит этому отрезку. Следовательно, `$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{\pi}{4}$`.
Ответ: `$-\frac{\pi}{4}$`.

г) Область значений арккосинуса — это отрезок `$[0; \pi]$`. Угол `$-\frac{\pi}{4}$` не принадлежит этому отрезку. Нам нужно найти такой угол `$\beta \in [0; \pi]$`, для которого `$\cos\beta = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$`. Используем свойство четности косинуса: `$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$`. Тогда `$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$`. Угол `$\frac{\pi}{4}$` принадлежит отрезку `$[0; \pi]$`. Таким образом, `$\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{4}$`.

д) Область значений арксинуса — `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Угол `$\frac{5\pi}{6}$` не принадлежит этому отрезку. Найдем угол `$\beta \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$` такой, что `$\sin\beta = \sin\frac{5\pi}{6}$`. Используем формулу приведения `$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$`. `$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6}$`. Угол `$\frac{\pi}{6}$` принадлежит отрезку `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Значит, `$\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \arcsin\left(\sin\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{6}$`.

е) Область значений арккосинуса — `$[0; \pi]$`. Угол `$\frac{5\pi}{6}$` принадлежит этому отрезку, так как `$0 \le \frac{5\pi}{6} \le \pi$`. Следовательно, `$\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$`.
Ответ: `$\frac{5\pi}{6}$`.

ж) Область значений арксинуса — `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Угол `$-\frac{5\pi}{6}$` не принадлежит этому отрезку. Найдем угол `$\beta \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$` такой, что `$\sin\beta = \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$`. Используем свойство нечетности синуса `$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$`: `$\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\frac{5\pi}{6}$`. Из пункта д) мы знаем, что `$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6}$`. Тогда `$-\sin\frac{5\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6}$`. Снова используя нечетность синуса, получаем `$-\sin\frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$`. Угол `$-\frac{\pi}{6}$` принадлежит отрезку `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Следовательно, `$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{\pi}{6}$`.
Ответ: `$-\frac{\pi}{6}$`.

з) Область значений арккосинуса — `$[0; \pi]$`. Угол `$-\frac{5\pi}{6}$` не принадлежит этому отрезку. Найдем угол `$\beta \in [0; \pi]$` такой, что `$\cos\beta = \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$`. Используем свойство четности косинуса `$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$`. `$\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\frac{5\pi}{6}$`. Угол `$\frac{5\pi}{6}$` принадлежит отрезку `$[0; \pi]$`. Следовательно, `$\arccos\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$`.
Ответ: `$\frac{5\pi}{6}$`.

и) Область значений арккосинуса — `$[0; \pi]$`. Угол `$\frac{7\pi}{4}$` не принадлежит этому отрезку. Найдем угол `$\beta \in [0; \pi]$` такой, что `$\cos\beta = \cos\frac{7\pi}{4}$`. Используем периодичность косинуса и формулы приведения. Представим `$\frac{7\pi}{4}$` как `$2\pi - \frac{\pi}{4}$`. `$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$`. Так как косинус — четная функция, `$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$`. Угол `$\frac{\pi}{4}$` принадлежит отрезку `$[0; \pi]$`. Следовательно, `$\arccos\left(\cos\frac{7\pi}{4}\right) = \arccos\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{4}$`.

7.104* а) $ \arcsin (\sin 9); $

б) $ \arccos (\cos 9); $

в) $ \arcsin (\sin (-8)); $

г) $ \arccos (\cos (-8)); $

д) $ \arcsin (\sin (-3)); $

е) $ \arccos (\cos (-3)). $

а)

По определению, значение функции арксинус должно лежать в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Наша задача — найти такое число $x$, что $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $\sin(x) = \sin(9)$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол 9 радиан. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$:
$2\pi \approx 6.28$
$3\pi \approx 9.42$
Поскольку $2\pi < 9 < 3\pi$, угол 9 находится во второй или третьей четверти. Точнее, $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$, значит $\frac{5\pi}{2} < 9 < 3\pi$, что соответствует второй четверти. Синус в этой четверти положителен.

Мы ищем эквивалентный угол в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем свойство периодичности синуса $\sin(\alpha) = \sin(\alpha + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.
$\sin(9) = \sin(9 - 2\pi)$.
Значение $9 - 2\pi \approx 9 - 6.28 = 2.72$. Это значение не попадает в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$.
Однако угол $9 - 2\pi$ также находится во второй четверти (так как $\frac{\pi}{2} < 2.72 < \pi$), где синус положителен. Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$.
$\sin(9 - 2\pi) = \sin(\pi - (9 - 2\pi)) = \sin(\pi - 9 + 2\pi) = \sin(3\pi - 9)$.
Проверим значение $3\pi - 9$: $3\pi - 9 \approx 9.42 - 9 = 0.42$.
Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, так как $-1.57 < 0.42 < 1.57$.
Таким образом, $\arcsin(\sin 9) = 3\pi - 9$.

Ответ: $3\pi - 9$

б)

По определению, значение функции арккосинус должно лежать в отрезке $[0, \pi]$. Наша задача — найти такое число $x$, что $x \in [0, \pi]$ и $\cos(x) = \cos(9)$.

Используем свойство периодичности косинуса $\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.
Мы ищем такое целое $k$, чтобы значение $\pm 9 + 2k\pi$ попало в отрезок $[0, \pi]$.
Рассмотрим вариант $9 + 2k\pi$:
При $k = -1$: $9 - 2\pi \approx 9 - 6.28 = 2.72$.
Проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$. Да, $0 < 2.72 < 3.14$.
Другие варианты (например, $-9 + 2k\pi$ или другие значения $k$) не дадут результата в нужном диапазоне.
Таким образом, $\arccos(\cos 9) = 9 - 2\pi$.

Ответ: $9 - 2\pi$

в)

Значение арксинуса должно лежать в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-8) = -\sin(8)$.
Тогда $\arcsin(\sin(-8)) = \arcsin(-\sin(8))$.
Используем свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$:
$\arcsin(-\sin(8)) = -\arcsin(\sin(8))$.
Теперь найдем $\arcsin(\sin(8))$. Ищем $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ такой, что $\sin(x) = \sin(8)$.
$8 - 2\pi \approx 8 - 6.28 = 1.72$. Это не в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем формулу $\sin(\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$: $\sin(8) = \sin(8 - 2\pi) = \sin(\pi - (8 - 2\pi)) = \sin(3\pi - 8)$.
$3\pi - 8 \approx 9.42 - 8 = 1.42$. Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin(\sin(8)) = 3\pi - 8$.
Возвращаясь к исходному выражению: $-\arcsin(\sin(8)) = -(3\pi - 8) = 8 - 3\pi$.

Ответ: $8 - 3\pi$

г)

Значение арккосинуса должно лежать в отрезке $[0, \pi]$.
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-8) = \cos(8)$.
Следовательно, $\arccos(\cos(-8)) = \arccos(\cos(8))$.
Эта задача аналогична пункту б) с заменой 9 на 8.
Ищем $x \in [0, \pi]$ такой, что $\cos(x) = \cos(8)$.
$\cos(8) = \cos(8 - 2\pi)$.
$8 - 2\pi \approx 8 - 6.28 = 1.72$.
Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$.
Таким образом, $\arccos(\cos(-8)) = 8 - 2\pi$.

Ответ: $8 - 2\pi$

д)

Значение арксинуса должно лежать в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем нечетность синуса и арксинуса:
$\arcsin(\sin(-3)) = -\arcsin(\sin(3))$.
Теперь найдем $\arcsin(\sin(3))$. Ищем $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ такой, что $\sin(x) = \sin(3)$.
Угол 3 радиана находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$).
Используем формулу $\sin(\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$:
$\sin(3) = \sin(\pi - 3)$.
Значение $\pi - 3 \approx 3.14 - 3 = 0.14$. Оно принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin(\sin(3)) = \pi - 3$.
Возвращаясь к исходному выражению: $-(\pi - 3) = 3 - \pi$.

Ответ: $3 - \pi$

е)

Значение арккосинуса должно лежать в отрезке $[0, \pi]$.
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-3) = \cos(3)$.
Следовательно, $\arccos(\cos(-3)) = \arccos(\cos(3))$.
Проверим, принадлежит ли значение 3 отрезку $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$. Да, $0 < 3 < 3.14$.
Поскольку аргумент косинуса уже находится в области значений арккосинуса, то по определению $\arccos(\cos(x)) = x$ для $x \in [0, \pi]$.
Таким образом, $\arccos(\cos(3)) = 3$.

Ответ: $3$