Номер 7.99, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.8*. Формулы для арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.99, страница 233.

7.99 Запишите формулы для арксинуса и арккосинуса.

Формулы для арксинуса

Арксинус числа $a$, обозначаемый как $\arcsin a$, — это значение угла $x$ (в радианах), для которого одновременно выполняются два условия:

1. $\sin x = a$
2. $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$

Арксинус является функцией, обратной к синусу, с областью значений, ограниченной отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Основные формулы и свойства:

• Область определения: $D(\arcsin) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(\arcsin) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• Основное тождество: $\sin(\arcsin x) = x$ при $x \in [-1, 1]$.
• Нечетность: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$.
• Связь с арккосинусом: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$.
• Производная: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ при $x \in (-1, 1)$.
• Интеграл: $\int \arcsin x \,dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.

Ответ: Основные формулы для арксинуса: определение $y = \arcsin x \iff (\sin y = x$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2})$; тождество $\sin(\arcsin x) = x$ для $x \in [-1, 1]$; свойство нечетности $\arcsin(-x) = -\arcsin x$; тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.

Формулы для арккосинуса

Арккосинус числа $a$, обозначаемый как $\arccos a$, — это значение угла $x$ (в радианах), для которого одновременно выполняются два условия:

1. $\cos x = a$
2. $0 \le x \le \pi$

Арккосинус является функцией, обратной к косинусу, с областью значений, ограниченной отрезком $[0, \pi]$.

Основные формулы и свойства:

• Область определения: $D(\arccos) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(\arccos) = [0, \pi]$.
• Основное тождество: $\cos(\arccos x) = x$ при $x \in [-1, 1]$.
• Соотношение для отрицательного аргумента: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
• Связь с арксинусом: $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$.
• Производная: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ при $x \in (-1, 1)$.
• Интеграл: $\int \arccos x \,dx = x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.

Ответ: Основные формулы для арккосинуса: определение $y = \arccos x \iff (\cos y = x$ и $0 \le y \le \pi)$; тождество $\cos(\arccos x) = x$ для $x \in [-1, 1]$; формула $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$; тождество $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$.