Номер 7.103, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.8*. Формулы для арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.103, страница 233.

7.103 а) $ \arcsin \left(\sin \frac{\pi}{3}\right); $

б) $ \arccos \left(\cos \frac{\pi}{3}\right); $

в) $ \arcsin \left(\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right); $

г) $ \arccos \left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right); $

д) $ \arcsin \left(\sin \frac{5\pi}{6}\right); $

е) $ \arccos \left(\cos \frac{5\pi}{6}\right); $

ж) $ \arcsin \left(\sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right); $

з) $ \arccos \left(\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right); $

и) $ \arccos \left(\cos \frac{7\pi}{4}\right). $

а) По определению арксинуса, `$\arcsin(\sin \alpha) = \alpha$` только в том случае, если `$\alpha$` принадлежит отрезку `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Угол `$\frac{\pi}{3}$` принадлежит этому отрезку, так как `$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$`. Следовательно, `$\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{3}$`.

б) По определению арккосинуса, `$\arccos(\cos \alpha) = \alpha$` только в том случае, если `$\alpha$` принадлежит отрезку `$[0; \pi]$`. Угол `$\frac{\pi}{3}$` принадлежит этому отрезку. Следовательно, `$\arccos\left(\cos\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{3}$`.

в) Область значений арксинуса — это отрезок `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Угол `$-\frac{\pi}{4}$` принадлежит этому отрезку. Следовательно, `$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{\pi}{4}$`.
Ответ: `$-\frac{\pi}{4}$`.

г) Область значений арккосинуса — это отрезок `$[0; \pi]$`. Угол `$-\frac{\pi}{4}$` не принадлежит этому отрезку. Нам нужно найти такой угол `$\beta \in [0; \pi]$`, для которого `$\cos\beta = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$`. Используем свойство четности косинуса: `$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$`. Тогда `$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$`. Угол `$\frac{\pi}{4}$` принадлежит отрезку `$[0; \pi]$`. Таким образом, `$\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{4}$`.

д) Область значений арксинуса — `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Угол `$\frac{5\pi}{6}$` не принадлежит этому отрезку. Найдем угол `$\beta \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$` такой, что `$\sin\beta = \sin\frac{5\pi}{6}$`. Используем формулу приведения `$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$`. `$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6}$`. Угол `$\frac{\pi}{6}$` принадлежит отрезку `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Значит, `$\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \arcsin\left(\sin\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{6}$`.

е) Область значений арккосинуса — `$[0; \pi]$`. Угол `$\frac{5\pi}{6}$` принадлежит этому отрезку, так как `$0 \le \frac{5\pi}{6} \le \pi$`. Следовательно, `$\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$`.
Ответ: `$\frac{5\pi}{6}$`.

ж) Область значений арксинуса — `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Угол `$-\frac{5\pi}{6}$` не принадлежит этому отрезку. Найдем угол `$\beta \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$` такой, что `$\sin\beta = \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$`. Используем свойство нечетности синуса `$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$`: `$\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\frac{5\pi}{6}$`. Из пункта д) мы знаем, что `$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6}$`. Тогда `$-\sin\frac{5\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6}$`. Снова используя нечетность синуса, получаем `$-\sin\frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$`. Угол `$-\frac{\pi}{6}$` принадлежит отрезку `$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$`. Следовательно, `$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{\pi}{6}$`.
Ответ: `$-\frac{\pi}{6}$`.

з) Область значений арккосинуса — `$[0; \pi]$`. Угол `$-\frac{5\pi}{6}$` не принадлежит этому отрезку. Найдем угол `$\beta \in [0; \pi]$` такой, что `$\cos\beta = \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$`. Используем свойство четности косинуса `$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$`. `$\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\frac{5\pi}{6}$`. Угол `$\frac{5\pi}{6}$` принадлежит отрезку `$[0; \pi]$`. Следовательно, `$\arccos\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$`.
Ответ: `$\frac{5\pi}{6}$`.

и) Область значений арккосинуса — `$[0; \pi]$`. Угол `$\frac{7\pi}{4}$` не принадлежит этому отрезку. Найдем угол `$\beta \in [0; \pi]$` такой, что `$\cos\beta = \cos\frac{7\pi}{4}$`. Используем периодичность косинуса и формулы приведения. Представим `$\frac{7\pi}{4}$` как `$2\pi - \frac{\pi}{4}$`. `$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$`. Так как косинус — четная функция, `$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$`. Угол `$\frac{\pi}{4}$` принадлежит отрезку `$[0; \pi]$`. Следовательно, `$\arccos\left(\cos\frac{7\pi}{4}\right) = \arccos\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$`.
Ответ: `$\frac{\pi}{4}$`.