Номер 7.103, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.103 а) $ \arcsin \left(\sin \frac{\pi}{3}\right); $

б) $ \arccos \left(\cos \frac{\pi}{3}\right); $

в) $ \arcsin \left(\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right); $

г) $ \arccos \left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right); $

д) $ \arcsin \left(\sin \frac{5\pi}{6}\right); $

е) $ \arccos \left(\cos \frac{5\pi}{6}\right); $

ж) $ \arcsin \left(\sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right); $

з) $ \arccos \left(\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right); $

и) $ \arccos \left(\cos \frac{7\pi}{4}\right). $

а) По определению арксинуса, $\arcsin(\sin \alpha) = \alpha$ только в том случае, если $\alpha$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит этому отрезку, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$. Следовательно, $\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

б) По определению арккосинуса, $\arccos(\cos \alpha) = \alpha$ только в том случае, если $\alpha$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит этому отрезку. Следовательно, $\arccos\left(\cos\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

в) Область значений арксинуса — это отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому отрезку. Следовательно, $\arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

г) Область значений арккосинуса — это отрезок $[0; \pi]$. Угол $-\frac{\pi}{4}$ не принадлежит этому отрезку. Нам нужно найти такой угол $\beta \in [0; \pi]$, для которого $\cos\beta = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Используем свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Тогда $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$. Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Таким образом, $\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

д) Область значений арксинуса — $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому отрезку. Найдем угол $\beta \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ такой, что $\sin\beta = \sin\frac{5\pi}{6}$. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. $\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Значит, $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \arcsin\left(\sin\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

е) Область значений арккосинуса — $[0; \pi]$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит этому отрезку, так как $0 \le \frac{5\pi}{6} \le \pi$. Следовательно, $\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

ж) Область значений арксинуса — $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Угол $-\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому отрезку. Найдем угол $\beta \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ такой, что $\sin\beta = \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$. Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$: $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\frac{5\pi}{6}$. Из пункта д) мы знаем, что $\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6}$. Тогда $-\sin\frac{5\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6}$. Снова используя нечетность синуса, получаем $-\sin\frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$. Угол $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Следовательно, $\arcsin\left(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

з) Область значений арккосинуса — $[0; \pi]$. Угол $-\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому отрезку. Найдем угол $\beta \in [0; \pi]$ такой, что $\cos\beta = \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$. Используем свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. $\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\frac{5\pi}{6}$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Следовательно, $\arccos\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

и) Область значений арккосинуса — $[0; \pi]$. Угол $\frac{7\pi}{4}$ не принадлежит этому отрезку. Найдем угол $\beta \in [0; \pi]$ такой, что $\cos\beta = \cos\frac{7\pi}{4}$. Используем периодичность косинуса и формулы приведения. Представим $\frac{7\pi}{4}$ как $2\pi - \frac{\pi}{4}$. $\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Так как косинус — четная функция, $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Следовательно, $\arccos\left(\cos\frac{7\pi}{4}\right) = \arccos\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.