Номер 8.5, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.5, страница 238.

8.5 a) $ \text{tg } 0^\circ + \text{ctg } 45^\circ - \text{tg } 45^\circ + \text{ctg } 30^\circ; $

б) $ \text{ctg } \frac{\pi}{2} - \text{tg } \frac{\pi}{3} + \text{ctg } \frac{\pi}{4} - \text{tg } \frac{\pi}{6}. $

а) Для вычисления значения выражения $ \operatorname{tg} 0^\circ + \operatorname{ctg} 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{ctg} 30^\circ $ необходимо найти значения каждого из тригонометрических слагаемых. Используем известные табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов:
$ \operatorname{tg} 0^\circ = 0 $
$ \operatorname{ctg} 45^\circ = 1 $
$ \operatorname{tg} 45^\circ = 1 $
$ \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3} $
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$ 0 + 1 - 1 + \sqrt{3} $
Слагаемые $ +1 $ и $ -1 $ взаимно уничтожаются, поэтому получаем:
$ 0 + 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3} $
Ответ: $ \sqrt{3} $

б) Для вычисления значения выражения $ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} $ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций для углов, заданных в радианах:
$ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0 $ (соответствует $ 90^\circ $)
$ \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $ (соответствует $ 60^\circ $)
$ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 $ (соответствует $ 45^\circ $)
$ \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $ (соответствует $ 30^\circ $)
Подставим найденные значения в выражение:
$ 0 - \sqrt{3} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} $
Сгруппируем слагаемые и выполним вычисления:
$ 1 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - (\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) $
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:
$ 1 - (\frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 - \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} $
Ответ: $ 1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} $