Номер 8.12, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.12, страница 239.

8.12°

а) Объясните, как можно определить $ctg \alpha$ с помощью оси котангенсов.

б) Для каких углов $\alpha$ существует $ctg \alpha$?

в) Какие значения может принимать $ctg \alpha$?

a) Для определения котангенса угла $\alpha$ с помощью оси котангенсов используется единичная окружность в прямоугольной системе координат. Осью котангенсов называется прямая, которая касается единичной окружности в точке $(0, 1)$ и параллельна оси абсцисс. Уравнение этой прямой: $y=1$.
Чтобы найти $\text{ctg } \alpha$, нужно выполнить следующие действия:
1. На единичной окружности отметить точку $P$, соответствующую углу поворота $\alpha$ (отсчет ведется от точки $(1, 0)$ против часовой стрелки).
2. Провести прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $P$.
3. Найти точку $C$ пересечения этой прямой с осью котангенсов (прямой $y=1$).
4. Абсцисса (координата по оси $x$) точки $C$ и есть значение котангенса угла $\alpha$.
Если прямая $OP$ совпадает с осью абсцисс (что происходит при $\alpha = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), она параллельна оси котангенсов и не пересекает её. В этом случае $\text{ctg } \alpha$ не определён.
Ответ: Значение $\text{ctg } \alpha$ равно абсциссе точки пересечения прямой, проходящей через начало координат и точку на единичной окружности, соответствующую углу $\alpha$, с прямой $y=1$ (осью котангенсов).

б) Котангенс угла $\alpha$ определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу: $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Дробное выражение определено (существует) только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Следовательно, для существования котангенса необходимо и достаточно, чтобы $\sin \alpha \neq 0$.
Функция синус равна нулю для углов, конечная сторона которых лежит на оси абсцисс ($Ox$). Это происходит при углах $\alpha = 0, \pi, 2\pi, \dots$ и $\alpha = -\pi, -2\pi, \dots$.
Обобщенно эти углы записываются формулой $\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\text{ctg } \alpha$ существует для всех углов $\alpha$, для которых $\alpha \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Область значений функции котангенса — это множество всех значений, которые может принимать $\text{ctg } \alpha$.
Из геометрического определения (см. пункт а), $\text{ctg } \alpha$ — это абсцисса точки на оси котангенсов (прямой $y=1$). Эта прямая является бесконечной числовой осью.
При изменении угла $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$ луч, проведенный из начала координат, поворачивается от положительного направления оси $Ox$ к отрицательному. Точка его пересечения с прямой $y=1$ пробегает всю эту прямую.
• При $\alpha \rightarrow 0^+$ (угол стремится к нулю, оставаясь положительным), точка пересечения уходит на бесконечность вправо, то есть $\text{ctg } \alpha \rightarrow +\infty$.
• При $\alpha \rightarrow \pi^-$ (угол стремится к $\pi$, оставаясь меньше $\pi$), точка пересечения уходит на бесконечность влево, то есть $\text{ctg } \alpha \rightarrow -\infty$.
• При $\alpha = \pi/2$, $\text{ctg } (\pi/2) = 0$.
Таким образом, при изменении $\alpha$ от $0$ до $\pi$ (не включая границы), $\text{ctg } \alpha$ принимает все возможные действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: $\text{ctg } \alpha$ может принимать любое действительное значение. Область значений функции $y=\text{ctg } \alpha$ — это множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.