Номер 8.15, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.15, страница 239.

8.15 a) $ctg \alpha = -1$;

б) $ctg \alpha = -2$;

в) $ctg \alpha = -3$;

г) $ctg \alpha = -4$;

д) $ctg \alpha = -\frac{1}{2}$;

е) $ctg \alpha = -\frac{1}{3}$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg} \alpha = -1$.
Для решения уравнений вида $\text{ctg} x = a$ используется общая формула: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), а $\text{arcctg}(a)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$.
В данном случае $a = -1$. Подставляем это значение в общую формулу:
$\alpha = \text{arcctg}(-1) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Значение $\text{arcctg}(-1)$ является табличным. Используем свойство арккотангенса $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$:
$\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.
Так как $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, окончательное решение уравнения:
$\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Рассмотрим уравнение $\text{ctg} \alpha = -2$.
Применяя общую формулу для решения уравнений с котангенсом, $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, получаем:
$\alpha = \text{arcctg}(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $-2$ не является стандартным значением котангенса, для которого известен угол в радианах, решение оставляют в такой форме, выраженной через арккотангенс.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим уравнение $\text{ctg} \alpha = -3$.
По общей формуле решения $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, имеем:
$\alpha = \text{arcctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Это и есть окончательный ответ, так как значение арккотангенса от $-3$ не выражается через простые доли $\pi$.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\text{ctg} \alpha = -4$.
Решение находится по стандартной формуле $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$:
$\alpha = \text{arcctg}(-4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Так как $-4$ не является табличным значением для котангенса, ответ записывается с использованием функции арккотангенса.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Рассмотрим уравнение $\text{ctg} \alpha = -\frac{1}{2}$.
Используя общую формулу для решений уравнений вида $\text{ctg} x = a$, которая гласит $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, получаем:
$\alpha = \text{arcctg}(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Это является полным решением уравнения.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим уравнение $\text{ctg} \alpha = -\frac{1}{3}$.
Общее решение данного типа уравнений записывается как $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Подставляя $a = -\frac{1}{3}$, находим:
$\alpha = \text{arcctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Это и есть искомое множество решений.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.