Номер 8.20, страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.2. Основные формулы для tgα и ctgα - номер 8.20, страница 242.

Условие.

8.20 a) $ \frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1} $;

б) $ \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Упростим выражение $ \frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1} $.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем минус за скобки, чтобы сгруппировать четвертые степени:

$ 1 - (\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Возведем обе части этого тождества в квадрат:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = 1^2 $

$ \sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 $

Из этого равенства выразим сумму четвертых степеней синуса и косинуса:

$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $

Теперь подставим полученное выражение обратно в числитель исходной дроби:

$ 1 - (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Далее преобразуем знаменатель: $ \sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 $. Это выражение является формулой квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, где $ a = \sin^2 \alpha $ и $ b = 1 $.

$ \sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 = (\sin^2 \alpha - 1)^2 $

Из основного тригонометрического тождества следует, что $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $. Подставим это в знаменатель:

$ (-\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha $

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} $

Сократим дробь на $ \cos^2 \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):

$ \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2 \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = 2 \tan^2 \alpha $.

Ответ: $ 2 \tan^2 \alpha $

б) Упростим выражение $ \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} $.

Числитель дроби представляет собой разность кубов $ a^3 - b^3 $. Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $, где $ a = \cos \alpha $ и $ b = \sin \alpha $.

$ \cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) $

Во втором множителе сгруппируем $ \cos^2 \alpha $ и $ \sin^2 \alpha $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получим:

$ (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \cos \alpha \sin \alpha = 1 + \sin \alpha \cos \alpha $

Таким образом, числитель преобразуется к виду:

$ (\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha) $

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в исходное выражение:

$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} $

Знаменатель $ 1 + \sin \alpha \cos \alpha $ никогда не равен нулю. Это можно показать, используя формулу синуса двойного угла: $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $. Так как область значений функции $ \sin(2\alpha) $ это отрезок $ [-1, 1] $, то $ \sin \alpha \cos \alpha $ принимает значения в отрезке $ [-0.5, 0.5] $. Следовательно, знаменатель $ 1 + \sin \alpha \cos \alpha $ всегда находится в диапазоне $ [1-0.5, 1+0.5] = [0.5, 1.5] $, то есть он всегда положителен. Поэтому мы можем безопасно сократить дробь на общий множитель $ (1 + \sin \alpha \cos \alpha) $.

В результате сокращения получаем:

$ \cos \alpha - \sin \alpha $

Ответ: $ \cos \alpha - \sin \alpha $