Номер 8.14, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.14, страница 239.

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство (8.14–8.15):

8.14
а) ctg $\alpha$ = 1;
б) ctg $\alpha$ = 2;
в) ctg $\alpha$ = 3;
г) ctg $\alpha$ = 4;
д) ctg $\alpha$ = $\frac{1}{2}$;
е) ctg $\alpha$ = $\frac{1}{3}$.

Для того чтобы отметить точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для которых выполняется заданное равенство $\text{ctg } \alpha = c$, необходимо найти координаты $(x, y)$ этих точек. Эти координаты должны удовлетворять системе из двух уравнений:

1. Уравнение единичной окружности: $x^2 + y^2 = 1$.
2. Определение котангенса: $\text{ctg } \alpha = \frac{x}{y} = c$.

Решим эту систему для каждого из заданных случаев.

а) $\text{ctg } \alpha = 1$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $x = y$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 + y^2 = 1$

$2y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{2}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как $x = y$, то $x$ принимает те же значения: $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем две точки:

• $P_1$, где $x$ и $y$ положительны: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $P_2$, где $x$ и $y$ отрицательны: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

б) $\text{ctg } \alpha = 2$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения $x = 2y$. Подставляем в первое:

$(2y)^2 + y^2 = 1$

$4y^2 + y^2 = 1$

$5y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{5}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Тогда $x = 2y = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$ и $\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.

в) $\text{ctg } \alpha = 3$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения $x = 3y$. Подставляем в первое:

$(3y)^2 + y^2 = 1$

$9y^2 + y^2 = 1$

$10y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{10}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

Тогда $x = 3y = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{3\sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}, -\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10}\right)$ и $\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}, -\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$.

г) $\text{ctg } \alpha = 4$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения $x = 4y$. Подставляем в первое:

$(4y)^2 + y^2 = 1$

$16y^2 + y^2 = 1$

$17y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{17}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{17}} = \pm \frac{\sqrt{17}}{17}$

Тогда $x = 4y = \pm \frac{4}{\sqrt{17}} = \pm \frac{4\sqrt{17}}{17}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{4\sqrt{17}}{17}, \frac{\sqrt{17}}{17}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{4\sqrt{17}}{17}, -\frac{\sqrt{17}}{17}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{4\sqrt{17}}{17}, \frac{\sqrt{17}}{17}\right)$ и $\left(-\frac{4\sqrt{17}}{17}, -\frac{\sqrt{17}}{17}\right)$.

д) $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{2}$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Из второго уравнения $x = \frac{1}{2}y$. Подставляем в первое:

$\left(\frac{1}{2}y\right)^2 + y^2 = 1$

$\frac{1}{4}y^2 + y^2 = 1$

$\frac{5}{4}y^2 = 1$

$y^2 = \frac{4}{5}$

$y = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Тогда $x = \frac{1}{2}y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$ и $\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$.

е) $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \end{cases}$

Из второго уравнения $x = \frac{1}{3}y$. Подставляем в первое:

$\left(\frac{1}{3}y\right)^2 + y^2 = 1$

$\frac{1}{9}y^2 + y^2 = 1$

$\frac{10}{9}y^2 = 1$

$y^2 = \frac{9}{10}$

$y = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Тогда $x = \frac{1}{3}y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}, -\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$ и $\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}, -\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$.