Номер 8.16, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.16, страница 239.

8.16 Сравните:

а) $\operatorname{tg} 60^{\circ}$ и $\operatorname{tg} 30^{\circ}$;

б) $\operatorname{ctg} 60^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 30^{\circ}$;

в) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}$;

г) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}$ и $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3}$;

д) $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{tg} 2$;

е) $\operatorname{tg} 2$ и $\operatorname{tg} 3$;

ж) $\operatorname{ctg} 1$ и $\operatorname{ctg} 2$;

з) $\operatorname{ctg} 2$ и $\operatorname{ctg} 3$;

и) $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{ctg} 2$.

а) Углы $30^\circ$ и $60^\circ$ принадлежат первой четверти, то есть интервалу $(0^\circ; 90^\circ)$. На этом интервале функция $y = \tg x$ возрастает. Поскольку $60^\circ > 30^\circ$, то и значение тангенса для большего угла будет больше. Также можно сравнить табличные значения: $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$ и $\tg 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\tg 60^\circ > \tg 30^\circ$.
Ответ: $\tg 60^\circ > \tg 30^\circ$.

б) Углы $30^\circ$ и $60^\circ$ принадлежат интервалу $(0^\circ; 180^\circ)$. На этом интервале функция $y = \ctg x$ убывает. Поскольку $60^\circ > 30^\circ$, то значение котангенса для большего угла будет меньше. Также можно сравнить табличные значения: $\ctg 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\ctg 30^\circ = \sqrt{3}$. Так как $\frac{1}{\sqrt{3}} < \sqrt{3}$, то $\ctg 60^\circ < \ctg 30^\circ$.
Ответ: $\ctg 60^\circ < \ctg 30^\circ$.

в) Углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$ принадлежат первой четверти, то есть интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = \tg x$ возрастает. Поскольку $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}$, то $\tg \frac{\pi}{3} > \tg \frac{\pi}{4}$. Сравнивая табличные значения: $\tg \frac{\pi}{4} = 1$ и $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Так как $1 < \sqrt{3}$, то $\tg \frac{\pi}{4} < \tg \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\tg \frac{\pi}{4} < \tg \frac{\pi}{3}$.

г) Углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$ принадлежат интервалу $(0; \pi)$. На этом интервале функция $y = \ctg x$ убывает. Поскольку $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}$, то $\ctg \frac{\pi}{3} < \ctg \frac{\pi}{4}$. Сравнивая табличные значения: $\ctg \frac{\pi}{4} = 1$ и $\ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $1 > \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\ctg \frac{\pi}{4} > \ctg \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\ctg \frac{\pi}{4} > \ctg \frac{\pi}{3}$.

д) Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Определим, в каких четвертях лежат углы 1 и 2 радиана. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Угол 1 радиан: $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, это первая четверть. Тангенс в первой четверти положителен, значит $\tg 1 > 0$. Угол 2 радиана: $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, это вторая четверть. Тангенс во второй четверти отрицателен, значит $\tg 2 < 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $\tg 1 > \tg 2$.
Ответ: $\tg 1 > \tg 2$.

е) Углы 2 и 3 радиана лежат во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < 3 < \pi \approx 3.14$. Оба угла принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ возрастает. Так как $3 > 2$, то $\tg 3 > \tg 2$.
Ответ: $\tg 2 < \tg 3$.

ж) Определим знаки значений функций. Угол 1 радиан лежит в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\ctg 1 > 0$. Угол 2 радиана лежит во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$), поэтому $\ctg 2 < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $\ctg 1 > \ctg 2$.

з) Углы 2 и 3 радиана лежат во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi$), то есть на интервале $(0, \pi)$. На этом интервале функция $y = \ctg x$ убывает. Так как $3 > 2$, то $\ctg 3 < \ctg 2$.
Ответ: $\ctg 2 > \ctg 3$.

и) Определим знаки значений функций. Угол 1 радиан лежит в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\tg 1 > 0$. Угол 2 радиана лежит во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$), поэтому $\ctg 2 < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $\tg 1 > \ctg 2$.