Номер 8.23, страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.23, страница 242.

Упростите выражение (8.23—8.25):

8.23 a) $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

б) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$;

В) $\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

г) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$;

д) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha$;

е) $1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$;

ж) $\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$;

з) $\frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$.

а) Для упрощения выражения $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Из него следуют два равенства: $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ и $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Так как по определению $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, то полученное выражение равно $\tan^2 \alpha$.

Ответ: $\tan^2 \alpha$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$. Снова используем основное тригонометрическое тождество. В числителе: $\sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha$. В знаменателе: $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставляем в дробь:

$\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Так как по определению $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, то полученное выражение равно $-\cot^2 \alpha$.

Ответ: $-\cot^2 \alpha$.

в) Упростим выражение $\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$.

Знаменатель дроби, согласно основному тригонометрическому тождеству, равен: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Подставим это в выражение:

$\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Сократим дробь на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 \tan \alpha$

Ответ: $2 \tan \alpha$.

г) Упростим выражение $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Используя основное тождество $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$, получаем:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$

Также можно было использовать тождество $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, из которого сразу следует, что $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \tan^2 \alpha$.

Ответ: $\tan^2 \alpha$.

д) Рассмотрим выражение $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \ctg^2 \alpha$.

Сумма первых двух слагаемых по основному тригонометрическому тождеству равна 1:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Тогда выражение принимает вид:

$1 + \ctg^2 \alpha$

Используя тождество $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

е) Упростим выражение $1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Приведем к общему знаменателю:

$1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}$

Из основного тождества следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.

$\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\cot^2 \alpha$

Ответ: $-\cot^2 \alpha$.

ж) Упростим выражение $\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.

Сгруппируем множители следующим образом:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Используя определение тангенса, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$\tan \alpha \cdot \tan \beta$

Ответ: $\tan \alpha \tan \beta$.

з) Упростим выражение $\frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$.

Сгруппируем множители:

$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Используя определения котангенса, $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, и тангенса, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$\cot \alpha \cdot \tan \beta$

Ответ: $\cot \alpha \tan \beta$.