Номер 8.28, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.2. Основные формулы для tgα и ctgα - номер 8.28, страница 243.

Условие.

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулой (8.28–8.29):

8.28

a) $\text{tg}\ \alpha = 0$;

б) $\text{tg}\ \alpha = 1$;

в) $\text{tg}\ \alpha = -1$;

г) $\text{ctg}\ \alpha = 0$;

д) $\text{ctg}\ \alpha = 1$;

е) $\text{ctg}\ \alpha = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим уравнение $\tg \alpha = 0$.

Тангенс угла равен нулю, если синус этого угла равен нулю, а косинус не равен нулю. На единичной окружности это соответствует точкам, у которых ордината (координата y) равна 0. Таких точек две: (1, 0) и (-1, 0).

Точка (1, 0) соответствует углу $\alpha = 0$ (и всем углам вида $2k\pi$).

Точка (-1, 0) соответствует углу $\alpha = \pi$ (и всем углам вида $\pi + 2k\pi$).

Объединяя эти два семейства решений, получаем, что точки повторяются через полоборота, то есть через $\pi$. Таким образом, все углы можно задать одной формулой.

Ответ: $\alpha = k\pi, k \in \mathbb{Z}$

б) Решим уравнение $\tg \alpha = 1$.

Тангенс угла равен 1, если его синус равен косинусу ($\sin \alpha = \cos \alpha$). На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (x) и ордината (y) равны. Эти точки лежат на биссектрисе первого и третьего координатных углов (прямая $y=x$).

В первом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Её координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

В третьем квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$. Её координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Эти точки диаметрально противоположны, поэтому все решения можно описать одной формулой с периодом $\pi$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

в) Решим уравнение $\tg \alpha = -1$.

Тангенс угла равен -1, если его синус равен косинусу с противоположным знаком ($\sin \alpha = -\cos \alpha$). На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (x) и ордината (y) противоположны по знаку. Эти точки лежат на биссектрисе второго и четвертого координатных углов (прямая $y=-x$).

Во втором квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Её координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

В четвертом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$). Её координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Эти точки диаметрально противоположны, поэтому все решения можно описать одной формулой с периодом $\pi$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$)

г) Решим уравнение $\ctg \alpha = 0$.

Котангенс угла равен нулю, если косинус этого угла равен нулю, а синус не равен нулю. На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (координата x) равна 0. Таких точек две: (0, 1) и (0, -1).

Точка (0, 1) соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

Точка (0, -1) соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{2}$.

Эти точки диаметрально противоположны, и решения повторяются с периодом $\pi$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

д) Решим уравнение $\ctg \alpha = 1$.

Котангенс угла равен 1, если его косинус равен синусу ($\cos \alpha = \sin \alpha$). Это то же самое условие, что и для $\tg \alpha = 1$. Точки на единичной окружности лежат на прямой $y=x$.

В первом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

В третьем квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

Эти точки диаметрально противоположны.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

е) Решим уравнение $\ctg \alpha = -1$.

Котангенс угла равен -1, если его косинус равен синусу с противоположным знаком ($\cos \alpha = -\sin \alpha$). Это то же самое условие, что и для $\tg \alpha = -1$. Точки на единичной окружности лежат на прямой $y=-x$.

Во втором квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

В четвертом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).

Эти точки диаметрально противоположны.

Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$)