Номер 8.28, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.28, страница 243.
№8.28 (с. 243)
Условие. №8.28 (с. 243)
скриншот условия

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулой (8.28–8.29):
8.28
a) $\text{tg}\ \alpha = 0$;
б) $\text{tg}\ \alpha = 1$;
в) $\text{tg}\ \alpha = -1$;
г) $\text{ctg}\ \alpha = 0$;
д) $\text{ctg}\ \alpha = 1$;
е) $\text{ctg}\ \alpha = -1$.
Решение 1. №8.28 (с. 243)






Решение 2. №8.28 (с. 243)

Решение 3. №8.28 (с. 243)

Решение 4. №8.28 (с. 243)


Решение 5. №8.28 (с. 243)
а) Решим уравнение $\tg \alpha = 0$.
Тангенс угла равен нулю, если синус этого угла равен нулю, а косинус не равен нулю. На единичной окружности это соответствует точкам, у которых ордината (координата y) равна 0. Таких точек две: (1, 0) и (-1, 0).
Точка (1, 0) соответствует углу $\alpha = 0$ (и всем углам вида $2k\pi$).
Точка (-1, 0) соответствует углу $\alpha = \pi$ (и всем углам вида $\pi + 2k\pi$).
Объединяя эти два семейства решений, получаем, что точки повторяются через полоборота, то есть через $\pi$. Таким образом, все углы можно задать одной формулой.
Ответ: $\alpha = k\pi, k \in \mathbb{Z}$
б) Решим уравнение $\tg \alpha = 1$.
Тангенс угла равен 1, если его синус равен косинусу ($\sin \alpha = \cos \alpha$). На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (x) и ордината (y) равны. Эти точки лежат на биссектрисе первого и третьего координатных углов (прямая $y=x$).
В первом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Её координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
В третьем квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$. Её координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Эти точки диаметрально противоположны, поэтому все решения можно описать одной формулой с периодом $\pi$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
в) Решим уравнение $\tg \alpha = -1$.
Тангенс угла равен -1, если его синус равен косинусу с противоположным знаком ($\sin \alpha = -\cos \alpha$). На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (x) и ордината (y) противоположны по знаку. Эти точки лежат на биссектрисе второго и четвертого координатных углов (прямая $y=-x$).
Во втором квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Её координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
В четвертом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$). Её координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Эти точки диаметрально противоположны, поэтому все решения можно описать одной формулой с периодом $\pi$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$)
г) Решим уравнение $\ctg \alpha = 0$.
Котангенс угла равен нулю, если косинус этого угла равен нулю, а синус не равен нулю. На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (координата x) равна 0. Таких точек две: (0, 1) и (0, -1).
Точка (0, 1) соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Точка (0, -1) соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{2}$.
Эти точки диаметрально противоположны, и решения повторяются с периодом $\pi$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
д) Решим уравнение $\ctg \alpha = 1$.
Котангенс угла равен 1, если его косинус равен синусу ($\cos \alpha = \sin \alpha$). Это то же самое условие, что и для $\tg \alpha = 1$. Точки на единичной окружности лежат на прямой $y=x$.
В первом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
В третьем квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.
Эти точки диаметрально противоположны.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
е) Решим уравнение $\ctg \alpha = -1$.
Котангенс угла равен -1, если его косинус равен синусу с противоположным знаком ($\cos \alpha = -\sin \alpha$). Это то же самое условие, что и для $\tg \alpha = -1$. Точки на единичной окружности лежат на прямой $y=-x$.
Во втором квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.
В четвертом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).
Эти точки диаметрально противоположны.
Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$)
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8.28 расположенного на странице 243 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.28 (с. 243), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.