Номер 8.35, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.3. Арктангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.35, страница 246.

8.35 Постройте угол:

а) $arctg 1$;

б) $arctg 2$;

в) $arctg 3$;

г) $arctg (-1)$;

д) $arctg (-2)$;

е) $arctg (-3)$;

ж) $arctg \frac{1}{2}$;

з) $arctg \left(-\frac{2}{3}\right)$;

и) $arctg \left(-\frac{1}{4}\right)$.

Для построения угла $\alpha = \arctan(x)$ используется его определение через тангенс в прямоугольном треугольнике: $\tan(\alpha) = x$. В прямоугольной системе координат OXY, угол строится следующим образом: вершина угла находится в начале координат $O(0,0)$, одна сторона угла совпадает с положительным направлением оси $Ox$. Для построения второй стороны, число $x$ представляется в виде дроби $x = \frac{y_0}{x_0}$. Затем на координатной плоскости отмечается точка $P(x_0, y_0)$. Вторая сторона угла — это луч $OP$. Угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом. Если $x > 0$, угол находится в I четверти. Если $x < 0$, угол находится в IV четверти.

а) Для построения угла $\alpha = \arctan 1$, представим $1$ как дробь $\frac{1}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, 1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{1}{1} = 1$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, 1)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan 1$.

б) Для построения угла $\alpha = \arctan 2$, представим $2$ как дробь $\frac{2}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, 2)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{2}{1} = 2$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, 2)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan 2$.

в) Для построения угла $\alpha = \arctan 3$, представим $3$ как дробь $\frac{3}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, 3)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{3}{1} = 3$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, 3)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan 3$.

г) Для построения угла $\alpha = \arctan (-1)$, представим $-1$ как дробь $\frac{-1}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, -1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-1}{1} = -1$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, -1)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan (-1)$.

д) Для построения угла $\alpha = \arctan (-2)$, представим $-2$ как дробь $\frac{-2}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, -2)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-2}{1} = -2$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, -2)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan (-2)$.

е) Для построения угла $\alpha = \arctan (-3)$, представим $-3$ как дробь $\frac{-3}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, -3)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-3}{1} = -3$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, -3)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan (-3)$.

ж) Для построения угла $\alpha = \arctan \frac{1}{2}$, в прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(2, 1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{1}{2}$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(2, 1)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan \frac{1}{2}$.

з) Для построения угла $\alpha = \arctan \left(-\frac{2}{3}\right)$, представим $-\frac{2}{3}$ как $\frac{-2}{3}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(3, -2)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-2}{3}$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(3, -2)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan \left(-\frac{2}{3}\right)$.

и) Для построения угла $\alpha = \arctan \left(-\frac{1}{4}\right)$, представим $-\frac{1}{4}$ как $\frac{-1}{4}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(4, -1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-1}{4}$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(4, -1)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan \left(-\frac{1}{4}\right)$.