Номер 8.41, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.4*. Арккотангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.41, страница 249.

8.41 Сравните с числом $0,5\pi$:

а) $\operatorname{arcctg} 1$;

б) $\operatorname{arcctg} 2$;

в) $\operatorname{arcctg} 3$;

г) $\operatorname{arcctg} (-1)$;

д) $\operatorname{arcctg} (-2)$;

е) $\operatorname{arcctg} (-3)$;

ж) $\operatorname{arcctg} \frac{\pi}{3}$;

з) $\operatorname{arcctg} \pi$;

и) $\operatorname{arcctg} (-\pi)$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся свойствами функции арккотангенс $y = \text{arcctg } x$.

1. Область значений функции $\text{arcctg } x$ — это интервал $(0; \pi)$.

2. Функция $\text{arcctg } x$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

3. Нам нужно сравнить значения функции с числом $0,5\pi$, то есть с $\frac{\pi}{2}$. Найдем, при каком значении аргумента арккотангенс равен $\frac{\pi}{2}$: $\text{arcctg } x = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow x = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Таким образом, задача сводится к сравнению $\text{arcctg } a$ с $\text{arcctg } 0$. Из свойства убывания функции следует:

• Если $a > 0$, то $\text{arcctg } a < \text{arcctg } 0$, то есть $\text{arcctg } a < 0,5\pi$.
• Если $a < 0$, то $\text{arcctg } a > \text{arcctg } 0$, то есть $\text{arcctg } a > 0,5\pi$.

Применим это правило к каждому пункту.

---

а) Сравнить $\text{arcctg } 1$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = 1$. Так как $1 > 0$, то на основании общего правила $\text{arcctg } 1 < 0,5\pi$.

Для проверки можно использовать известное значение: $\text{arcctg } 1 = \frac{\pi}{4}$. Сравнивая $\frac{\pi}{4}$ и $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$, получаем $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\text{arcctg } 1 < 0,5\pi$.

---

б) Сравнить $\text{arcctg } 2$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = 2$. Так как $2 > 0$, то $\text{arcctg } 2 < 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } 2 < 0,5\pi$.

---

в) Сравнить $\text{arcctg } 3$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = 3$. Так как $3 > 0$, то $\text{arcctg } 3 < 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } 3 < 0,5\pi$.

---

г) Сравнить $\text{arcctg } (-1)$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = -1$. Так как $-1 < 0$, то на основании общего правила $\text{arcctg } (-1) > 0,5\pi$.

Для проверки можно использовать известное значение: $\text{arcctg } (-1) = \pi - \text{arcctg } 1 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Сравнивая $\frac{3\pi}{4}$ и $0,5\pi = \frac{2\pi}{4}$, получаем $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{4}$.

Ответ: $\text{arcctg } (-1) > 0,5\pi$.

---

д) Сравнить $\text{arcctg } (-2)$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = -2$. Так как $-2 < 0$, то $\text{arcctg } (-2) > 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } (-2) > 0,5\pi$.

---

е) Сравнить $\text{arcctg } (-3)$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = -3$. Так как $-3 < 0$, то $\text{arcctg } (-3) > 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } (-3) > 0,5\pi$.

---

ж) Сравнить $\text{arcctg } \frac{\pi}{3}$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $\pi \approx 3,14159$, то $x = \frac{\pi}{3} > 0$.

Следовательно, $\text{arcctg } \frac{\pi}{3} < 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } \frac{\pi}{3} < 0,5\pi$.

---

з) Сравнить $\text{arcctg } \pi$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = \pi$. Так как $\pi > 0$, то $\text{arcctg } \pi < 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } \pi < 0,5\pi$.

---

и) Сравнить $\text{arcctg } (-\pi)$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = -\pi$. Так как $-\pi < 0$, то $\text{arcctg } (-\pi) > 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } (-\pi) > 0,5\pi$.