Номер 8.48, страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.6*. Формулы для арктангенса и арккотангенса. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.48, страница 257.

8.48 Запишите формулы для арктангенса и арккотангенса.

Арктангенс и арккотангенс являются обратными тригонометрическими функциями для тангенса и котангенса соответственно. Ниже приведены основные формулы, связанные с этими функциями.

Формулы для арктангенса

Определение: Арктангенс числа $x$ (обозначается $\arctan(x)$ или $\text{arctg}(x)$) — это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

$y = \arctan(x) \iff \tan(y) = x$, при этом $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Основные тождества:

• $\tan(\arctan(x)) = x$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
• $\arctan(\tan(y)) = y$ для любого $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Свойство нечетности:

$\arctan(-x) = -\arctan(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

Формулы сложения и вычитания:

• $\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$, если $xy < 1$.
• $\arctan(x) - \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$, если $xy > -1$.

Производная:

$(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}$.

Интеграл:

$\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Разложение в ряд Маклорена:

$\arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$, справедливо при $|x| \le 1$.

Ответ: Основные формулы для $\arctan(x)$ включают его определение ($y=\arctan(x) \iff \tan(y)=x$), тождество $\tan(\arctan(x))=x$, свойство нечетности $\arctan(-x)=-\arctan(x)$, формулы сложения, производную $\frac{1}{1+x^2}$ и интеграл $x \arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.

Формулы для арккотангенса

Определение: Арккотангенс числа $x$ (обозначается $\text{arccot}(x)$ или $\text{arcctg}(x)$) — это угол $y$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$.

$y = \text{arccot}(x) \iff \cot(y) = x$, при этом $0 < y < \pi$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y) = (0; \pi)$.

Основные тождества:

• $\cot(\text{arccot}(x)) = x$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
• $\text{arccot}(\cot(y)) = y$ для любого $y \in (0, \pi)$.

Свойство симметрии:

$\text{arccot}(-x) = \pi - \text{arccot}(x)$. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Производная:

$(\text{arccot}(x))' = -\frac{1}{1+x^2}$.

Интеграл:

$\int \text{arccot}(x) dx = x \text{arccot}(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: Основные формулы для $\text{arccot}(x)$ включают его определение ($y=\text{arccot}(x) \iff \cot(y)=x$), тождество $\cot(\text{arccot}(x))=x$, свойство симметрии $\text{arccot}(-x) = \pi - \text{arccot}(x)$, производную $-\frac{1}{1+x^2}$ и интеграл $x \text{arccot}(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.

Формулы, связывающие арктангенс и арккотангенс

Основное тождество:

$\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого действительного $x$.

Выражение одной функции через другую:

• $\text{arccot}(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$, если $x > 0$.
• $\text{arccot}(x) = \pi + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$, если $x < 0$.
• $\arctan(x) = \text{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)$, если $x > 0$.
• $\arctan(x) = \text{arccot}\left(\frac{1}{x}\right) - \pi$, если $x < 0$.

Ответ: Ключевыми формулами, связывающими арктангенс и арккотангенс, являются тождество $\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$ и формулы преобразования, например, $\text{arccot}(x) = \arctan(\frac{1}{x})$ для $x>0$.