Номер 8.50, страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.6*. Формулы для арктангенса и арккотангенса. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.50, страница 257.

8.50 Выразите через арккотангенс положительного числа:

а) $\text{arcctg} (-2);$

б) $\text{arcctg} (-3);$

в) $\text{arcctg} (2 - \pi);$

г) $\text{arcctg} (9 - 3\pi);$

д) $\text{arcctg} (-20);$

е) $\text{arcctg} (-21\pi).$

Для решения данной задачи используется свойство арккотангенса для отрицательного аргумента, которое гласит, что для любого $x > 0$ справедливо равенство: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

а) В выражении $arcctg(-2)$ аргумент равен -2. Это отрицательное число. Применим формулу, взяв $x = 2$:
$arcctg(-2) = \pi - arcctg(2)$.
Аргумент нового арккотангенса (число 2) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(2)$.

б) В выражении $arcctg(-3)$ аргумент равен -3. Это отрицательное число. Применим формулу, взяв $x = 3$:
$arcctg(-3) = \pi - arcctg(3)$.
Аргумент нового арккотангенса (число 3) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(3)$.

в) В выражении $arcctg(2 - \pi)$ необходимо сначала определить знак аргумента $2 - \pi$. Поскольку $\pi \approx 3,14159$, то $2 - \pi < 0$.
Аргумент является отрицательным числом. Применим формулу, взяв $x = -(2 - \pi) = \pi - 2$. Так как $\pi > 2$, то $x > 0$.
$arcctg(2 - \pi) = arcctg(-(\pi - 2)) = \pi - arcctg(\pi - 2)$.
Аргумент нового арккотангенса ($\pi - 2$) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(\pi - 2)$.

г) В выражении $arcctg(9 - 3\pi)$ определим знак аргумента $9 - 3\pi$. Поскольку $\pi \approx 3,14159$, то $3\pi \approx 9,42477$, следовательно $9 - 3\pi < 0$.
Аргумент является отрицательным числом. Применим формулу, взяв $x = -(9 - 3\pi) = 3\pi - 9$. Так как $3\pi > 9$, то $x > 0$.
$arcctg(9 - 3\pi) = arcctg(-(3\pi - 9)) = \pi - arcctg(3\pi - 9)$.
Аргумент нового арккотангенса ($3\pi - 9$) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(3\pi - 9)$.

д) В выражении $arcctg(-20)$ аргумент равен -20. Это отрицательное число. Применим формулу, взяв $x = 20$:
$arcctg(-20) = \pi - arcctg(20)$.
Аргумент нового арккотангенса (число 20) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(20)$.

е) В выражении $arcctg(-21\pi)$ аргумент $-21\pi$ является отрицательным числом, так как $\pi > 0$. Применим формулу, взяв $x = 21\pi$:
$arcctg(-21\pi) = \pi - arcctg(21\pi)$.
Аргумент нового арккотангенса ($21\pi$) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(21\pi)$.