Номер 9.4, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.4, страница 261.

9.4 a) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7}$;

б) $\sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4}$.

а) $ \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7} $

Для решения данного примера воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{6\pi}{7} $.

Подставим наши значения в формулу:

$ \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7}) $

Сложим углы в аргументе косинуса:

$ \frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi $

Таким образом, выражение упрощается до:

$ \cos(\pi) $

Значение косинуса от $ \pi $ равно -1.

$ \cos(\pi) = -1 $

Ответ: $-1$

б) $ \sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4} $

Для решения этого примера также воспользуемся формулой косинуса суммы. Сначала вынесем минус за скобки, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$ \sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4} = -(\cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4} - \sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4}) $

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) $, где $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{4} $.

Применим формулу:

$ -(\cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4})) $

Сложим углы в аргументе косинуса:

$ \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} $

Таким образом, исходное выражение равно:

$ -\cos(\frac{5\pi}{2}) $

Учитывая, что функция косинуса имеет период $ 2\pi $, мы можем упростить аргумент:

$ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $

Следовательно:

$ -\cos(\frac{5\pi}{2}) = -\cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) $

Так как $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, то значение всего выражения равно:

$ -0 = 0 $

Ответ: $0$