Номер 9.8, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.8, страница 261.

9.8 Вычислите $\cos (\alpha - \beta)$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{4}$,
$\cos \beta = \frac{1}{4}$.

Для вычисления $\cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• $\sin \alpha = -\frac{1}{4}$, при этом $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (третья четверть)
• $\cos \beta = \frac{1}{4}$, при этом $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$ (четвертая четверть)

Нам необходимо найти $\cos \alpha$ и $\sin \beta$.

1. Найдём $\cos \alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Подставляем известное значение $\sin \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Следовательно, $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), его косинус имеет отрицательное значение. Таким образом,

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

2. Найдём $\sin \beta$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$

Подставляем известное значение $\cos \beta$:

$\sin^2 \beta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Следовательно, $\sin \beta = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Поскольку угол $\beta$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$), его синус имеет отрицательное значение. Таким образом,

$\sin \beta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

3. Вычислим $\cos(\alpha - \beta)$

Теперь подставим все найденные и данные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = (-\frac{\sqrt{15}}{4}) \cdot (\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4})$

$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{15}}{16} + \frac{\sqrt{15}}{16}$

$\cos(\alpha - \beta) = 0$

Ответ: $0$.