Номер 9.11, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.11, страница 261.

9.11 Упростите выражение:

a) $\frac{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)}$

б) $\frac{\sin \alpha \sin \beta - \cos (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha + \beta) - \cos \alpha \cos \beta}$

где $\alpha \ne \pi m$, $\beta \ne \pi n$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{Z}$.

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель исходной дроби.

Упростим числитель:

$ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = 2\cos\alpha \cos\beta $

Упростим знаменатель:

$ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = 2\sin\alpha \sin\beta $

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{2\cos\alpha \cos\beta}{2\sin\alpha \sin\beta} $

Сократим на 2 и воспользуемся определением котангенса ($ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $):

$ \frac{\cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha \cot\beta $

Условия $ \alpha \neq \pi m $ и $ \beta \neq \pi n $ при $ m, n \in \mathbb{Z} $ гарантируют, что знаменатель $ 2\sin\alpha \sin\beta \neq 0 $, так как $ \sin\alpha \neq 0 $ и $ \sin\beta \neq 0 $. Эти же условия обеспечивают существование $ \cot\alpha $ и $ \cot\beta $.

Ответ: $ \cot\alpha \cot\beta $

б)

Снова используем формулы косинуса суммы и разности:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

Подставим их в числитель и знаменатель выражения.

Упростим числитель:

$ \sin\alpha \sin\beta - \cos(\alpha - \beta) = \sin\alpha \sin\beta - (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = -\cos\alpha \cos\beta $

Упростим знаменатель:

$ \cos(\alpha + \beta) - \cos\alpha \cos\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) - \cos\alpha \cos\beta = -\sin\alpha \sin\beta $

Теперь подставим упрощенные выражения в дробь:

$ \frac{-\cos\alpha \cos\beta}{-\sin\alpha \sin\beta} $

Сократим отрицательные знаки и, как и в предыдущем пункте, воспользуемся определением котангенса:

$ \frac{\cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha \cot\beta $

Условия $ \alpha \neq \pi m $ и $ \beta \neq \pi n $ при $ m, n \in \mathbb{Z} $ гарантируют, что знаменатель $ -\sin\alpha \sin\beta \neq 0 $, а также существование $ \cot\alpha $ и $ \cot\beta $.

Ответ: $ \cot\alpha \cot\beta $