Номер 9.18, страница 262 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов - номер 9.18, страница 262.

Условие.

9.18* Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

а) $ \cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha $;

б) $ \cos \alpha + \sin \alpha $;

в) $ \cos \alpha - \sin \alpha $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражений вида $A \cos \alpha + B \sin \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании выражения к виду $R \cos(\alpha \mp \varphi)$ или $R \sin(\alpha \pm \varphi)$, где $R = \sqrt{A^2 + B^2}$. Поскольку функции синуса и косинуса принимают значения в диапазоне от -1 до 1, то преобразованное выражение будет принимать значения в диапазоне от $-R$ до $R$. Таким образом, наибольшее значение выражения равно $R$, а наименьшее — $-R$.

а) Рассмотрим выражение $\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha$.
Здесь коэффициенты при $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ равны $A=1$ и $B=-\sqrt{3}$.
Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Теперь преобразуем исходное выражение, вынеся $R=2$ за скобки: $\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right)$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в выражение в скобках: $2 \left( \cos(\frac{\pi}{3}) \cos \alpha - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin \alpha \right)$.
Это выражение соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
Таким образом, получаем: $2 \cos(\alpha + \frac{\pi}{3})$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) \le 1$.
Умножив все части неравенства на 2, получим диапазон значений для нашего выражения: $-2 \le 2 \cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) \le 2$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее равно 2.
Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 2.

б) Рассмотрим выражение $\cos \alpha + \sin \alpha$.
Здесь $A=1$ и $B=1$.
Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Преобразуем выражение: $\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha \right)$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставив, получим: $\sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) \cos \alpha + \sin(\frac{\pi}{4}) \sin \alpha \right)$.
Используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$, получаем: $\sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.
Поскольку $-1 \le \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) \le 1$, то умножив на $\sqrt{2}$, имеем: $-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее равно $\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{2}$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.

в) Рассмотрим выражение $\cos \alpha - \sin \alpha$.
Здесь $A=1$ и $B=-1$.
Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Преобразуем выражение: $\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha \right)$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставив, получим: $\sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) \cos \alpha - \sin(\frac{\pi}{4}) \sin \alpha \right)$.
Используя формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$, получаем: $\sqrt{2} \cos(\alpha + \frac{\pi}{4})$.
Так как $-1 \le \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то, умножив на $\sqrt{2}$: $-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее равно $\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{2}$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.