Номер 9.23, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.2. Формулы для дополнительных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.23, страница 263.

9.23 Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего 45°:

а) $sin 80^\circ = \sin (90^\circ - 10^\circ) = \ldots;$

б) $sin 70^\circ;$

в) $cos 82^\circ;$

г) $sin 440^\circ;$

д) $sin 792^\circ;$

е) $sin 1859^\circ;$

ж) $cos 444^\circ;$

з) $cos 799^\circ;$

и) $cos 2005^\circ.$

а) Для того чтобы выразить `$\sin 80^\circ$`, воспользуемся формулой приведения `$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$`. Представим угол `$80^\circ$` как разность `$90^\circ - 10^\circ$`.
`$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$`.
Угол `$10^\circ$` является положительным и не превышает `$45^\circ$`.
Ответ: `$\cos 10^\circ$`.

б) Для выражения `$\sin 70^\circ$` применим ту же формулу приведения: `$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$`.
`$\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$`.
Угол `$20^\circ$` положителен и не превышает `$45^\circ$`.
Ответ: `$\cos 20^\circ$`.

в) Для выражения `$\cos 82^\circ$` воспользуемся формулой приведения `$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$`.
`$\cos 82^\circ = \cos(90^\circ - 8^\circ) = \sin 8^\circ$`.
Угол `$8^\circ$` положителен и не превышает `$45^\circ$`.
Ответ: `$\sin 8^\circ$`.

г) Для выражения `$\sin 440^\circ$` сначала воспользуемся периодичностью функции синус, период которой равен `$360^\circ$` (`$\sin(\alpha + 360^\circ \cdot n) = \sin \alpha$`).
`$440^\circ = 360^\circ + 80^\circ$`.
`$\sin 440^\circ = \sin(360^\circ + 80^\circ) = \sin 80^\circ$`.
Теперь, используя формулу приведения, как в пункте а), получаем:
`$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$`.
Ответ: `$\cos 10^\circ$`.

д) Для выражения `$\sin 792^\circ$` используем свойство периодичности синуса.
`$792^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 72^\circ$`.
`$\sin 792^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 72^\circ) = \sin 72^\circ$`.
Далее применяем формулу приведения:
`$\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$`.
Ответ: `$\cos 18^\circ$`.

е) Для выражения `$\sin 1859^\circ$` используем свойство периодичности синуса.
`$1859^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 59^\circ$`, так как `$5 \cdot 360^\circ = 1800^\circ$`.
`$\sin 1859^\circ = \sin(5 \cdot 360^\circ + 59^\circ) = \sin 59^\circ$`.
Применяем формулу приведения:
`$\sin 59^\circ = \sin(90^\circ - 31^\circ) = \cos 31^\circ$`.
Ответ: `$\cos 31^\circ$`.

ж) Для выражения `$\cos 444^\circ$` сначала воспользуемся периодичностью функции косинус (`$\cos(\alpha + 360^\circ \cdot n) = \cos \alpha$`).
`$444^\circ = 360^\circ + 84^\circ$`.
`$\cos 444^\circ = \cos(360^\circ + 84^\circ) = \cos 84^\circ$`.
Теперь применяем формулу приведения `$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$`.
`$\cos 84^\circ = \cos(90^\circ - 6^\circ) = \sin 6^\circ$`.
Ответ: `$\sin 6^\circ$`.

з) Для выражения `$\cos 799^\circ$` используем свойство периодичности косинуса.
`$799^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 79^\circ$`, так как `$2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$`.
`$\cos 799^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 79^\circ) = \cos 79^\circ$`.
Применяем формулу приведения:
`$\cos 79^\circ = \cos(90^\circ - 11^\circ) = \sin 11^\circ$`.
Ответ: `$\sin 11^\circ$`.

и) Для выражения `$\cos 2005^\circ$` используем свойство периодичности косинуса.
`$2005^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 205^\circ$`, так как `$5 \cdot 360^\circ = 1800^\circ$`.
`$\cos 2005^\circ = \cos(5 \cdot 360^\circ + 205^\circ) = \cos 205^\circ$`.
Угол `$205^\circ$` находится в III четверти, где косинус отрицателен. Применим формулу приведения `$\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$`.
`$\cos 205^\circ = \cos(180^\circ + 25^\circ) = -\cos 25^\circ$`.
Угол `$25^\circ$` удовлетворяет заданному условию.
Ответ: `$-\cos 25^\circ$`.