Номер 9.26, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.3. Синус суммы и синус разности двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.26, страница 265.

9.26 Докажите справедливость равенства:

а) $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha;$

б) $\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha;$

в) $\sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha;$

г) $\sin \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha;$

д) $\sin \left(45^{\circ}+\alpha\right)=\cos \left(45^{\circ}-\alpha\right);$

е) $\cos \left(45^{\circ}+\alpha\right)=\sin \left(45^{\circ}-\alpha\right).$

а)

Для доказательства равенства $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\alpha $

Мы знаем, что $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ и $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $. Подставим эти значения в выражение:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = 1 \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha $.

Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha $ доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $.

Здесь $ x = \pi $ и $ y = \alpha $.

Подставляем в формулу:

$ \sin(\pi - \alpha) = \sin\pi \cos\alpha - \cos\pi \sin\alpha $

Известно, что $ \sin\pi = 0 $ и $ \cos\pi = -1 $. Подставляем эти значения:

$ \sin(\pi - \alpha) = 0 \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = 0 + \sin\alpha = \sin\alpha $.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $ доказано.

в)

Для доказательства равенства $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha $ применим формулу синуса разности: $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $.

В данном случае $ x = \frac{3\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставляем в формулу:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos\alpha - \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin\alpha $

Знаем, что $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $ и $ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $. Подставляем:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = (-1) \cdot \cos\alpha - 0 \cdot \sin\alpha = -\cos\alpha $.

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha $ доказано.

г)

Для доказательства равенства $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha $ используем формулу синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Здесь $ x = \frac{3\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставляем в формулу:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos\alpha + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin\alpha $

Так как $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $ и $ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $, получаем:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = (-1) \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = -\cos\alpha $.

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha $ доказано.

д)

Для доказательства равенства $ \sin(45^\circ + \alpha) = \cos(45^\circ - \alpha) $ раскроем обе части, используя формулы синуса суммы и косинуса разности.

Формула синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Раскроем левую часть: $ \sin(45^\circ + \alpha) = \sin 45^\circ \cos\alpha + \cos 45^\circ \sin\alpha $.

Формула косинуса разности: $ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.

Раскроем правую часть: $ \cos(45^\circ - \alpha) = \cos 45^\circ \cos\alpha + \sin 45^\circ \sin\alpha $.

Мы знаем, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим эти значения в левую часть:

$ \sin(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $.

Подставим эти значения в правую часть:

$ \cos(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $.

Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \sin(45^\circ + \alpha) = \cos(45^\circ - \alpha) $ доказано.

е)

Для доказательства равенства $ \cos(45^\circ + \alpha) = \sin(45^\circ - \alpha) $ раскроем обе части, используя формулы косинуса суммы и синуса разности.

Формула косинуса суммы: $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

Раскроем левую часть: $ \cos(45^\circ + \alpha) = \cos 45^\circ \cos\alpha - \sin 45^\circ \sin\alpha $.

Формула синуса разности: $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $.

Раскроем правую часть: $ \sin(45^\circ - \alpha) = \sin 45^\circ \cos\alpha - \cos 45^\circ \sin\alpha $.

Известно, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим эти значения в левую часть:

$ \cos(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $.

Подставим эти значения в правую часть:

$ \sin(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $.

Левая и правая части равны, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \cos(45^\circ + \alpha) = \sin(45^\circ - \alpha) $ доказано.