Номер 9.31, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.3. Синус суммы и синус разности двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.31, страница 266.

9.31 Вычислите:

a) $\sin (\alpha + \beta)$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$, $\cos \beta = \frac{1}{3}$;

б) $\sin (\alpha - \beta)$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \alpha = -0,2$, $\cos \beta = -0,1$.

а)

Для вычисления $ \sin(\alpha + \beta) $ воспользуемся формулой синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

По условию дано: $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $, $ \cos \beta = \frac{1}{3} $. Углы $ \alpha $ и $ \beta $ находятся в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $). В первой четверти значения синуса и косинуса положительны.

1. Найдем $ \cos \alpha $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.
Поскольку $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos \alpha > 0 $, следовательно, $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Найдем $ \sin \beta $, используя то же тождество $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $:
$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.
Поскольку $ \beta $ находится в первой четверти, $ \sin \beta > 0 $, следовательно, $ \sin \beta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

3. Подставим все найденные значения в формулу синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6} $.

Ответ: $ \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6} $

б)

Для вычисления $ \sin(\alpha - \beta) $ воспользуемся формулой синуса разности:
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

По условию дано: $ \cos \alpha = -0.2 $, $ \cos \beta = -0.1 $. Угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), а угол $ \beta $ — в третьей четверти ($ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $).
- Для $ \alpha $ во второй четверти: $ \sin \alpha > 0 $, $ \cos \alpha < 0 $.
- Для $ \beta $ в третьей четверти: $ \sin \beta < 0 $, $ \cos \beta < 0 $.

1. Найдем $ \sin \alpha $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-0.2)^2 = 1 - 0.04 = 0.96 $.
Поскольку $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \sin \alpha > 0 $, следовательно, $ \sin \alpha = \sqrt{0.96} = \sqrt{\frac{96}{100}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{4\sqrt{6}}{10} = \frac{2\sqrt{6}}{5} $.

2. Найдем $ \sin \beta $, используя то же тождество $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $:
$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-0.1)^2 = 1 - 0.01 = 0.99 $.
Поскольку $ \beta $ находится в третьей четверти, $ \sin \beta < 0 $, следовательно, $ \sin \beta = -\sqrt{0.99} = -\sqrt{\frac{99}{100}} = -\frac{\sqrt{9 \cdot 11}}{10} = -\frac{3\sqrt{11}}{10} $.

3. Подставим все найденные значения в формулу синуса разности. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $ \cos \alpha = -0.2 = -\frac{1}{5} $, $ \cos \beta = -0.1 = -\frac{1}{10} $.
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) - \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3\sqrt{11}}{10}\right) $.
$ \sin(\alpha - \beta) = -\frac{2\sqrt{6}}{50} - \frac{3\sqrt{11}}{50} = -\frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{11}}{50} $.

Ответ: $ -\frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{11}}{50} $