Номер 9.24, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.2. Формулы для дополнительных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.24, страница 263.

9.24 Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего $\frac{\pi}{4}$:

а) $\sin \frac{\pi}{3}$;

б) $\cos \frac{\pi}{3}$;

в) $\sin \frac{5\pi}{7}$;

г) $\cos \frac{11\pi}{13}$;

д) $\sin \frac{13\pi}{5}$;

е) $\cos \frac{14\pi}{5}$;

ж) $\sin \frac{24\pi}{7}$;

з) $\cos \frac{29\pi}{7}$.

а)

Для выражения $ \sin\frac{\pi}{3} $ через функцию угла, не превышающего $ \frac{\pi}{4} $, воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ больше $ \frac{\pi}{4} $, поэтому такое преобразование необходимо.

$ \sin\frac{\pi}{3} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} $.

Полученный угол $ \frac{\pi}{6} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \cos\frac{\pi}{6} $.

б)

Для $ \cos\frac{\pi}{3} $, так как угол $ \frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} $, применим формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ \cos\frac{\pi}{3} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} $.

Полученный угол $ \frac{\pi}{6} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \sin\frac{\pi}{6} $.

в)

Угол $ \frac{5\pi}{7} $ находится во второй четверти. Сначала приведем его к острому углу с помощью формулы $ \sin\alpha = \sin(\pi - \alpha) $:

$ \sin\frac{5\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{5\pi}{7}) = \sin\frac{2\pi}{7} $.

Теперь угол $ \frac{2\pi}{7} $ острый, но $ \frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{4} $. Применим формулу $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ \sin\frac{2\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi - 4\pi}{14}) = \cos\frac{3\pi}{14} $.

Угол $ \frac{3\pi}{14} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{3\pi}{14} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \cos\frac{3\pi}{14} $.

г)

Угол $ \frac{11\pi}{13} $ находится во второй четверти. Применим формулу приведения $ \cos\alpha = -\cos(\pi - \alpha) $:

$ \cos\frac{11\pi}{13} = -\cos(\pi - \frac{11\pi}{13}) = -\cos(\frac{13\pi - 11\pi}{13}) = -\cos\frac{2\pi}{13} $.

Угол $ \frac{2\pi}{13} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{2\pi}{13} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ -\cos\frac{2\pi}{13} $.

д)

Угол $ \frac{13\pi}{5} $ больше $ 2\pi $. Используем периодичность синуса $ \sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha $:

$ \sin\frac{13\pi}{5} = \sin(\frac{10\pi + 3\pi}{5}) = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{5}) = \sin\frac{3\pi}{5} $.

Далее, как и в пункте в), приводим угол к требуемому диапазону: $ \sin\frac{3\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{5}) = \sin\frac{2\pi}{5} $.

И, так как $ \frac{2\pi}{5} > \frac{\pi}{4} $, $ \sin\frac{2\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}) = \cos(\frac{5\pi - 4\pi}{10}) = \cos\frac{\pi}{10} $.

Угол $ \frac{\pi}{10} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{10} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \cos\frac{\pi}{10} $.

е)

Угол $ \frac{14\pi}{5} $ больше $ 2\pi $. Используем периодичность косинуса $ \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha $:

$ \cos\frac{14\pi}{5} = \cos(\frac{10\pi + 4\pi}{5}) = \cos(2\pi + \frac{4\pi}{5}) = \cos\frac{4\pi}{5} $.

Применим формулу приведения для угла второй четверти $ \cos\alpha = -\cos(\pi - \alpha) $:

$ \cos\frac{4\pi}{5} = -\cos(\pi - \frac{4\pi}{5}) = -\cos\frac{\pi}{5} $.

Угол $ \frac{\pi}{5} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{5} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ -\cos\frac{\pi}{5} $.

ж)

Угол $ \frac{24\pi}{7} $ больше $ 2\pi $. Используем периодичность синуса:

$ \sin\frac{24\pi}{7} = \sin(\frac{14\pi + 10\pi}{7}) = \sin(2\pi + \frac{10\pi}{7}) = \sin\frac{10\pi}{7} $.

Угол $ \frac{10\pi}{7} $ находится в третьей четверти. Применим формулу $ \sin\alpha = -\sin(\alpha - \pi) $:

$ \sin\frac{10\pi}{7} = -\sin(\frac{10\pi}{7} - \pi) = -\sin\frac{3\pi}{7} $.

Так как $ \frac{3\pi}{7} > \frac{\pi}{4} $, применим формулу $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ -\sin\frac{3\pi}{7} = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7}) = -\cos(\frac{7\pi - 6\pi}{14}) = -\cos\frac{\pi}{14} $.

Угол $ \frac{\pi}{14} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{14} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ -\cos\frac{\pi}{14} $.

з)

Угол $ \frac{29\pi}{7} $ больше $ 2\pi $. Используем периодичность косинуса:

$ \cos\frac{29\pi}{7} = \cos(\frac{28\pi + \pi}{7}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{7}) = \cos\frac{\pi}{7} $.

Полученный угол $ \frac{\pi}{7} $ уже удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{7} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \cos\frac{\pi}{7} $.