Номер 9.28, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.3. Синус суммы и синус разности двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.28, страница 265.

9.28 a) $\sin 75^\circ$;

б) $\sin 105^\circ$;

в) $\sin 165^\circ$;

г) $\sin 195^\circ$.

а) Для вычисления значения $sin(75^\circ)$ представим угол $75^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов, для которых известны значения синуса и косинуса, например, $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Далее воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставим наши значения:
$sin(75^\circ) = sin(45^\circ + 30^\circ) = sin(45^\circ)cos(30^\circ) + cos(45^\circ)sin(30^\circ)$
Зная, что $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

б) Для вычисления значения $sin(105^\circ)$ представим угол $105^\circ$ в виде суммы стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Используем формулу синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(105^\circ) = sin(60^\circ + 45^\circ) = sin(60^\circ)cos(45^\circ) + cos(60^\circ)sin(45^\circ)$
Зная, что $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
(Также можно заметить, что $sin(105^\circ) = sin(180^\circ - 75^\circ) = sin(75^\circ)$, что дает тот же результат, что и в пункте а)).
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

в) Для вычисления значения $sin(165^\circ)$ воспользуемся формулой приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(165^\circ) = sin(180^\circ - 15^\circ) = sin(15^\circ)$
Теперь вычислим $sin(15^\circ)$, представив $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$ и используя формулу синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(15^\circ) = sin(45^\circ - 30^\circ) = sin(45^\circ)cos(30^\circ) - cos(45^\circ)sin(30^\circ)$
$sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
Следовательно, $sin(165^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

г) Для вычисления значения $sin(195^\circ)$ воспользуемся формулой приведения $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(195^\circ) = sin(180^\circ + 15^\circ) = -sin(15^\circ)$
Из предыдущего пункта (в) мы знаем, что $sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Подставляем это значение:
$sin(195^\circ) = - \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right) = \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$