Номер 9.33, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.3. Синус суммы и синус разности двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.33, страница 266.

9.33* Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

а) $4 \cos \alpha - 3 \sin \alpha$;

б) $5 \cos \alpha + 12 \sin \alpha$;

в) $\sin \alpha - 2 \cos \alpha$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражений вида $a \cos x + b \sin x$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании выражения к виду $R \cos(x \pm \phi)$ или $R \sin(x \pm \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Поскольку функции синус и косинус принимают значения в диапазоне от -1 до 1, наибольшим значением преобразованного выражения будет $R$, а наименьшим — $-R$.

а) $4 \cos \alpha - 3 \sin \alpha$

В этом выражении коэффициенты при косинусе и синусе равны $a=4$ и $b=-3$.
Найдем амплитуду $R$: $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Вынесем $R=5$ за скобки: $4 \cos \alpha - 3 \sin \alpha = 5 \left( \frac{4}{5} \cos \alpha - \frac{3}{5} \sin \alpha \right)$.
Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{4}{5}$ и $\sin \phi = \frac{3}{5}$. Такое $\phi$ существует, так как $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$.
Тогда выражение в скобках преобразуется по формуле косинуса суммы: $\cos \phi \cos \alpha - \sin \phi \sin \alpha = \cos(\alpha + \phi)$.
Следовательно, исходное выражение равно $5 \cos(\alpha + \phi)$.
Так как область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$, то: $-1 \le \cos(\alpha + \phi) \le 1$
$-5 \le 5 \cos(\alpha + \phi) \le 5$
Таким образом, наибольшее значение выражения равно 5, а наименьшее — -5.
Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение -5.

б) $5 \cos \alpha + 12 \sin \alpha$

Здесь коэффициенты $a=5$ и $b=12$.
Найдем амплитуду $R$: $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Вынесем $R=13$ за скобки: $5 \cos \alpha + 12 \sin \alpha = 13 \left( \frac{5}{13} \cos \alpha + \frac{12}{13} \sin \alpha \right)$.
Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$.
Тогда выражение в скобках преобразуется по формуле косинуса разности: $\cos \phi \cos \alpha + \sin \phi \sin \alpha = \cos(\alpha - \phi)$.
Следовательно, исходное выражение равно $13 \cos(\alpha - \phi)$.
Область значений функции $13 \cos(\alpha - \phi)$ — это отрезок $[-13, 13]$.
Наибольшее значение выражения равно 13, а наименьшее — -13.
Ответ: наибольшее значение 13, наименьшее значение -13.

в) $\sin \alpha - 2 \cos \alpha$

Перепишем выражение в привычном порядке: $-2 \cos \alpha + \sin \alpha$. Здесь коэффициенты $a=-2$ и $b=1$.
Найдем амплитуду $R$: $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Вынесем $R=\sqrt{5}$ за скобки: $\sin \alpha - 2 \cos \alpha = \sqrt{5} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \sin \alpha - \frac{2}{\sqrt{5}} \cos \alpha \right)$.
Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Тогда выражение в скобках преобразуется по формуле синуса разности: $\sin \alpha \cos \phi - \cos \alpha \sin \phi = \sin(\alpha - \phi)$.
Следовательно, исходное выражение равно $\sqrt{5} \sin(\alpha - \phi)$.
Область значений функции $\sqrt{5} \sin(\alpha - \phi)$ — это отрезок $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.
Наибольшее значение выражения равно $\sqrt{5}$, а наименьшее — $-\sqrt{5}$.
Ответ: наибольшее значение $\sqrt{5}$, наименьшее значение $-\sqrt{5}$.