Номер 9.36, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.36, страница 268.
№9.36 (с. 268)
Условие. №9.36 (с. 268)
скриншот условия

9.36 а) $\sin \alpha + \sin 3\alpha;$
б) $\cos 3\alpha - \cos \alpha;$
в) $\sin 3\alpha - \sin 5\alpha;$
г) $\cos 7\alpha + \cos \alpha;$
д) $\sin \alpha + \cos \alpha;$
е) $\cos \alpha - \sin \alpha.$
Решение 1. №9.36 (с. 268)






Решение 2. №9.36 (с. 268)

Решение 3. №9.36 (с. 268)


Решение 4. №9.36 (с. 268)


Решение 5. №9.36 (с. 268)
а) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
В данном случае, чтобы избежать отрицательного знака в аргументе косинуса, поменяем слагаемые местами (от этого сумма не изменится): $\sin 3\alpha + \sin \alpha$.
Применим формулу, где $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$:
$\sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$.
Ответ: $2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$
б) Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
В данном случае $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$:
$\cos 3\alpha - \cos \alpha = -2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin\frac{4\alpha}{2} \sin\frac{2\alpha}{2} = -2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha)$.
Ответ: $-2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha)$
в) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$.
В данном случае $x = 3\alpha$ и $y = 5\alpha$:
$\sin 3\alpha - \sin 5\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha-5\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2} = 2 \sin\frac{-2\alpha}{2} \cos\frac{8\alpha}{2} = 2 \sin(-\alpha) \cos(4\alpha)$.
Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:
$2 \sin(-\alpha) \cos(4\alpha) = -2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha)$.
Ответ: $-2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha)$
г) Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
В данном случае $x = 7\alpha$ и $y = \alpha$:
$\cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos\frac{8\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha}{2} = 2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha)$.
Ответ: $2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha)$
д) Чтобы преобразовать данную сумму в произведение, сначала приведем оба слагаемых к одной тригонометрической функции. Используя формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, заменим косинус на синус:
$\sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Теперь применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$, где $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{2} - \alpha$:
$\sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2 \sin\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \cos\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = 2 \sin\frac{\pi/2}{2} \cos\frac{2\alpha - \pi/2}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $\sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$
е) Преобразуем данное выражение, приведя слагаемые к одной функции. Заменим $\sin \alpha$ на $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, используя формулу приведения:
$\cos \alpha - \sin \alpha = \cos \alpha - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$, где $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{2} - \alpha$:
$\cos \alpha - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -2 \sin\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \sin\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = -2 \sin\frac{\pi/2}{2} \sin\frac{2\alpha - \pi/2}{2} = -2 \sin(\frac{\pi}{4}) \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$.
Используя свойство нечетности синуса $-\sin(z) = \sin(-z)$, можно переписать выражение для более удобного вида:
$-\sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(-(\alpha - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.
Ответ: $\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 9.36 расположенного на странице 268 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.36 (с. 268), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.