Номер 9.36, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.4. Сумма и разность синусов и косинусов - номер 9.36, страница 268.

Условие.

9.36 а) $\sin \alpha + \sin 3\alpha;$

б) $\cos 3\alpha - \cos \alpha;$

в) $\sin 3\alpha - \sin 5\alpha;$

г) $\cos 7\alpha + \cos \alpha;$

д) $\sin \alpha + \cos \alpha;$

е) $\cos \alpha - \sin \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае, чтобы избежать отрицательного знака в аргументе косинуса, поменяем слагаемые местами (от этого сумма не изменится): $\sin 3\alpha + \sin \alpha$.

Применим формулу, где $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$:

$\sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$.

Ответ: $2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$

б) Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$:

$\cos 3\alpha - \cos \alpha = -2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin\frac{4\alpha}{2} \sin\frac{2\alpha}{2} = -2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha)$.

Ответ: $-2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha)$

в) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$.

В данном случае $x = 3\alpha$ и $y = 5\alpha$:

$\sin 3\alpha - \sin 5\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha-5\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2} = 2 \sin\frac{-2\alpha}{2} \cos\frac{8\alpha}{2} = 2 \sin(-\alpha) \cos(4\alpha)$.

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:

$2 \sin(-\alpha) \cos(4\alpha) = -2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha)$.

Ответ: $-2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha)$

г) Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = 7\alpha$ и $y = \alpha$:

$\cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos\frac{8\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha}{2} = 2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha)$.

Ответ: $2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha)$

д) Чтобы преобразовать данную сумму в произведение, сначала приведем оба слагаемых к одной тригонометрической функции. Используя формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, заменим косинус на синус:

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Теперь применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$, где $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{2} - \alpha$:

$\sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2 \sin\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \cos\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = 2 \sin\frac{\pi/2}{2} \cos\frac{2\alpha - \pi/2}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $\sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$

е) Преобразуем данное выражение, приведя слагаемые к одной функции. Заменим $\sin \alpha$ на $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, используя формулу приведения:

$\cos \alpha - \sin \alpha = \cos \alpha - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$, где $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{2} - \alpha$:

$\cos \alpha - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -2 \sin\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \sin\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = -2 \sin\frac{\pi/2}{2} \sin\frac{2\alpha - \pi/2}{2} = -2 \sin(\frac{\pi}{4}) \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Используя свойство нечетности синуса $-\sin(z) = \sin(-z)$, можно переписать выражение для более удобного вида:

$-\sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(-(\alpha - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Ответ: $\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$