Номер 9.43, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.43, страница 268.

9.43* Докажите, что $\vert \sin \alpha + \cos \alpha \vert \le \sqrt{2}$.

Для доказательства неравенства $|\sin \alpha + \cos \alpha| \le \sqrt{2}$ можно использовать несколько методов.

Способ 1: Метод вспомогательного угла

Преобразуем выражение в левой части неравенства. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right)$

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos\frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin\frac{\pi}{4} \right)$

Теперь воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Выражение принимает вид:

$\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$

Таким образом, исходное неравенство $|\sin \alpha + \cos \alpha| \le \sqrt{2}$ эквивалентно следующему:

$\left|\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right| \le \sqrt{2}$

$\sqrt{2} \left|\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right| \le \sqrt{2}$

Разделив обе части на $\sqrt{2}$, получим:

$\left|\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right| \le 1$

Это неравенство верно для любого значения угла $\alpha$, так как область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, и, следовательно, модуль синуса любого угла не превышает 1. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Способ 2: Возведение в квадрат

Поскольку обе части доказываемого неравенства $|\sin \alpha + \cos \alpha| \le \sqrt{2}$ являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(|\sin \alpha + \cos \alpha|)^2 \le (\sqrt{2})^2$

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 \le 2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \le 2$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha \le 2$

$1 + \sin(2\alpha) \le 2$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$\sin(2\alpha) \le 1$

Полученное неравенство справедливо для любого действительного значения $\alpha$, так как максимальное значение функции синус равно 1. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.