Номер 9.48, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.48, страница 271.

9.48 Вычислите $ \sin 2\alpha $, если:

а) $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

а)

Для вычисления $sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

По условию, $sin(\alpha) = \frac{1}{2}$. Чтобы найти $cos(\alpha)$, используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $cos^2(\alpha)$:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Отсюда $cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая координатная четверть), значение косинуса для этого угла положительно. Следовательно, мы выбираем знак "+":

$cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим известные значения $sin(\alpha)$ и $cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

По условию, $cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$. Найдем $sin(\alpha)$ из основного тригонометрического тождества: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $sin^2(\alpha)$:

$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Отсюда $sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (вторая координатная четверть), где значение синуса положительно. Следовательно, мы выбираем знак "+":

$sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь подставим известные значения $sin(\alpha)$ и $cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.