Номер 9.44, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.44, страница 268.

9.44 Представьте в виде произведения:

а) $1 + 2 \sin \alpha = 2 \left(\frac{1}{2} + \sin \alpha\right) = 2 \left(\sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha\right) = ...;$

б) $1 - 2 \cos \alpha;$

в) $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha.$

а) Следуя подсказке в задании, преобразуем выражение. Сначала выносим 2 за скобки, затем заменяем $\frac{1}{2}$ на $\sin \frac{\pi}{6}$: $1 + 2 \sin \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} + \sin \alpha \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \right)$. Далее применяем формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$. В нашем случае $x=\frac{\pi}{6}$ и $y=\alpha$. Получаем: $2 \left( 2 \sin \frac{\frac{\pi}{6} + \alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{6} - \alpha}{2} \right) = 4 \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2} \right)$.
Ответ: $4 \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

б) Для преобразования выражения $1 - 2 \cos \alpha$ вынесем 2 за скобки и представим $\frac{1}{2}$ в виде косинуса угла: $1 - 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} - \cos \alpha \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} - \cos \alpha \right)$. Теперь применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$, где $x=\frac{\pi}{3}$ и $y=\alpha$. Получаем: $2 \cdot \left(-2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2}\right) = -4 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right) \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right)$.
Ответ: $-4 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right) \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

в) Для преобразования выражения $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha$ вынесем 2 за скобки и представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в виде синуса угла: $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin \alpha \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{3} - \sin \alpha \right)$. Теперь применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$, где $x=\frac{\pi}{3}$ и $y=\alpha$. Получаем: $2 \cdot \left(2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2}\right) = 4 \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right)$.
Ответ: $4 \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right)$.