Номер 9.50, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.50, страница 271.

9.50 a) $\sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8}$;

б) $2 \sin 50^{\circ} \sin 40^{\circ}$;

в) $\cos^2 15^{\circ} - \cos^2 75^{\circ}$;

г) $(\sin 80^{\circ} + \sin 10^{\circ}) (\cos 80^{\circ} - \cos 10^{\circ})$.

а)

Для вычисления выражения $\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Сначала вынесем минус за скобки, чтобы привести исходное выражение к стандартному виду формулы: $$ \sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} = - \left( \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} \right) $$

Теперь, согласно формуле двойного угла, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$, заменяем выражение в скобках: $$ - \left( \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} \right) = - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) $$

Упрощаем аргумент косинуса: $$ - \cos\left(\frac{2\pi}{8}\right) = - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $$

Значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, окончательный результат: $$ - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Для упрощения выражения $2 \sin 50^\circ \sin 40^\circ$ применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $$ 2 \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) $$

В данном случае $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 40^\circ$. Подставляем эти значения в формулу: $$ 2 \sin 50^\circ \sin 40^\circ = \cos(50^\circ - 40^\circ) - \cos(50^\circ + 40^\circ) $$

Выполняем арифметические действия в аргументах косинусов: $$ \cos(10^\circ) - \cos(90^\circ) $$

Мы знаем, что $\cos(90^\circ) = 0$. Подставляем это значение: $$ \cos(10^\circ) - 0 = \cos(10^\circ) $$

Ответ: $\cos(10^\circ)$.

в)

Чтобы вычислить значение выражения $\cos^2 15^\circ - \cos^2 75^\circ$, сначала преобразуем $\cos^2 75^\circ$, используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

При $\alpha = 15^\circ$ имеем: $$ \cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ $$

Подставим полученное выражение в исходное: $$ \cos^2 15^\circ - (\sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ $$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Применим эту формулу для $\alpha = 15^\circ$: $$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ) $$

Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным: $$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г)

Для упрощения выражения $(\sin 80^\circ + \sin 10^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ)$ воспользуемся формулами приведения: $$ \sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ $$ $$ \cos 80^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ $$

Подставим эти значения в исходное выражение: $$ (\cos 10^\circ + \sin 10^\circ)(\sin 10^\circ - \cos 10^\circ) $$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(b-a) = b^2 - a^2$, где $b = \sin 10^\circ$ и $a = \cos 10^\circ$: $$ \sin^2 10^\circ - \cos^2 10^\circ $$

Вынесем знак минус за скобки, чтобы применить формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$: $$ -(\cos^2 10^\circ - \sin^2 10^\circ) = -\cos(2 \cdot 10^\circ) = -\cos(20^\circ) $$

Используя формулу приведения $\cos(20^\circ) = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \sin(70^\circ)$, ответ можно также записать в виде $-\sin(70^\circ)$. Оба варианта верны.

Ответ: $-\cos(20^\circ)$.