Номер 9.56, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.56, страница 272.

9.56 Докажите справедливость равенства:

а) $2 \sin (0.5\pi - \alpha) \sin \alpha = \sin 2\alpha;$

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha;$

в) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha;$

г) $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha.$

а) Чтобы доказать равенство $2 \sin (0,5\pi - \alpha) \sin \alpha = \sin 2\alpha$, преобразуем его левую часть. Используем формулу приведения, согласно которой $\sin(0,5\pi - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$. Подставим это выражение в левую часть исходного равенства: $2 \sin (0,5\pi - \alpha) \sin \alpha = 2 \cos \alpha \sin \alpha$. Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Следовательно, левая часть тождественно равна правой: $2 \cos \alpha \sin \alpha = \sin 2\alpha$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $2 \sin (0,5\pi - \alpha) \sin \alpha = \sin 2\alpha$ справедливо.

б) Чтобы доказать равенство $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha$, преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Применим основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда выражение упрощается до: $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Вынесем знак минус за скобки: $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$. Теперь используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В итоге получаем, что левая часть равна правой: $-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha$ справедливо.

в) Чтобы доказать равенство $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha$, раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. Подставив эти значения, получаем: $1 + \sin 2\alpha$. Левая часть тождественно равна правой. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha$ справедливо.

г) Чтобы доказать равенство $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha$, раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. Подставив эти значения, получаем: $1 - \sin 2\alpha$. Левая часть тождественно равна правой. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha$ справедливо.