Страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.56 Докажите справедливость равенства:

а) $2 \sin (0.5\pi - \alpha) \sin \alpha = \sin 2\alpha;$

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha;$

в) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha;$

г) $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha.$

а) Чтобы доказать равенство $2 \sin (0,5\pi - \alpha) \sin \alpha = \sin 2\alpha$, преобразуем его левую часть. Используем формулу приведения, согласно которой $\sin(0,5\pi - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$. Подставим это выражение в левую часть исходного равенства: $2 \sin (0,5\pi - \alpha) \sin \alpha = 2 \cos \alpha \sin \alpha$. Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Следовательно, левая часть тождественно равна правой: $2 \cos \alpha \sin \alpha = \sin 2\alpha$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $2 \sin (0,5\pi - \alpha) \sin \alpha = \sin 2\alpha$ справедливо.

б) Чтобы доказать равенство $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha$, преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Применим основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда выражение упрощается до: $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Вынесем знак минус за скобки: $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$. Теперь используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В итоге получаем, что левая часть равна правой: $-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha$ справедливо.

в) Чтобы доказать равенство $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha$, раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. Подставив эти значения, получаем: $1 + \sin 2\alpha$. Левая часть тождественно равна правой. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha$ справедливо.

г) Чтобы доказать равенство $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha$, раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. Подставив эти значения, получаем: $1 - \sin 2\alpha$. Левая часть тождественно равна правой. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha$ справедливо.

9.57 Запишите углы $30^\circ$; $180^\circ$; $\pi$; $2\pi$ в виде $\frac{\alpha}{2}$, где $\alpha$ — некоторый угол.

30°: Чтобы представить заданный угол в виде $\frac{\alpha}{2}$, необходимо найти такой угол $\alpha$, который в два раза больше заданного. Пусть заданный угол равен $\beta$. Тогда мы ищем $\alpha$ из уравнения $\beta = \frac{\alpha}{2}$. Отсюда следует, что $\alpha = 2\beta$.
Для угла $30°$:
$\alpha = 2 \cdot 30° = 60°$.
Следовательно, $30° = \frac{60°}{2}$.
Ответ: $\frac{60°}{2}$

180°: Аналогично, для угла $180°$ находим соответствующий угол $\alpha$:
$\alpha = 2 \cdot 180° = 360°$.
Следовательно, $180° = \frac{360°}{2}$.
Ответ: $\frac{360°}{2}$

π: Для угла $\pi$ (в радианах) находим соответствующий угол $\alpha$:
$\alpha = 2 \cdot \pi = 2\pi$.
Следовательно, $\pi = \frac{2\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{2}$

2π: Для угла $2\pi$ (в радианах) находим соответствующий угол $\alpha$:
$\alpha = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$.
Следовательно, $2\pi = \frac{4\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{2}$

9.58 Чему равен квадрат:

а) синуса половинного угла;

б) косинуса половинного угла?

а) синуса половинного угла

Квадрат синуса половинного угла, то есть $sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, можно выразить через косинус целого угла $\alpha$. Для этого используется одна из формул косинуса двойного угла, которая связывает косинус угла с квадратом синуса его половины:
$cos(\alpha) = 1 - 2sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
Эта формула является следствием основной формулы косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ и основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$.
Теперь выразим из этой формулы $sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:
$2sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 - cos(\alpha)$
$sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - cos(\alpha)}{2}$
Эту формулу также называют формулой понижения степени для синуса.
Ответ: $sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - cos(\alpha)}{2}$

б) косинуса половинного угла

Аналогично, для нахождения квадрата косинуса половинного угла $cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ используется другая форма формулы косинуса двойного угла, связывающая косинус угла с квадратом косинуса его половины:
$cos(\alpha) = 2cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$
Выразим из нее $cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:
$2cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 + cos(\alpha)$
$cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + cos(\alpha)}{2}$
Это формула понижения степени для косинуса.
Ответ: $cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + cos(\alpha)}{2}$

9.59 Вычислите $\sin\frac{\alpha}{2}$, если:

а) $\cos \alpha = \frac{1}{3}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

а)

Для вычисления $ \sin\frac{\alpha}{2} $ воспользуемся формулой понижения степени для синуса, также известной как формула половинного угла:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $

Из этой формулы следует, что $ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} $.

По условию дано, что $ \cos\alpha = \frac{1}{3} $. Подставим это значение в формулу:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3} $

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $ \sin\frac{\alpha}{2} $:

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3} $

Чтобы определить правильный знак, необходимо выяснить, в какой координатной четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. По условию $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Разделим все части этого двойного неравенства на 2:

$ \frac{0}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi/2}{2} $, что дает $ 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в первой четверти, а синус в первой четверти имеет положительное значение. Следовательно, мы выбираем знак «+».

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

б)

Мы снова используем формулу половинного угла для синуса:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $

В этом случае нам не дан $ \cos\alpha $, но мы можем найти его, зная $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и промежуток для $ \alpha $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Отсюда $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $. Подставим значение $ \sin\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} $

Следовательно, $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.

По условию, угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти косинус отрицателен, поэтому $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $.

Теперь мы можем подставить найденное значение $ \cos\alpha $ в формулу для $ \sin^2\frac{\alpha}{2} $:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10} $

Извлекаем квадратный корень:

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{9}{10}} = \pm\frac{3}{\sqrt{10}} = \pm\frac{3\sqrt{10}}{10} $

Определим знак, найдя четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Из условия $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ делением на 2 получаем:

$ \frac{\pi/2}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $, что дает $ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $.

Этот интервал находится в первой координатной четверти, где синус положителен. Таким образом, мы выбираем знак «+».

Ответ: $ \frac{3\sqrt{10}}{10} $.

9.60 Вычислите $\cos \frac{\alpha}{2}$, если:

a) $\sin \alpha = -\frac{1}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

а) Для вычисления $cos\frac{\alpha}{2}$ используется формула половинного угла: $cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$, из которой следует, что $cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$.
Первым шагом найдем значение $\cos\alpha$. Нам дано, что $\sin\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал для угла $\alpha$ соответствует третьей координатной четверти, в которой значения косинуса отрицательны.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Поскольку $\alpha$ находится в третьей четверти, $\cos\alpha$ отрицателен, поэтому $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Далее определим знак $cos\frac{\alpha}{2}$. Из условия $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ путем деления на 2 получаем интервал для $\frac{\alpha}{2}$: $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$.
Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Значит, $cos\frac{\alpha}{2}$ будет иметь отрицательный знак.
Теперь подставим найденное значение $\cos\alpha$ в формулу для $cos\frac{\alpha}{2}$: $cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{2\sqrt{2}}{3})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}}{2}} = -\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}$.
Ответ: $-\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}$.

б) Мы снова используем формулу половинного угла: $cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$.
В этом случае нам дано, что $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
Сначала определим знак $cos\frac{\alpha}{2}$. Из условия $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ следует, что $\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал для $\frac{\alpha}{2}$ соответствует первой координатной четверти, где косинус положителен. Следовательно, мы выберем знак "плюс".
Теперь вычислим значение $cos\frac{\alpha}{2}$, подставив известное значение $\cos\alpha$: $cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{13-12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{26}}$.
Для удобства можно рационализировать знаменатель: $\sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{1 \cdot \sqrt{26}}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{26}$.

9.61 Упростите выражение:

a) $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha;$

б) $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha;$

в) $4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \alpha + 3;$

г) $4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \cos \alpha + 3.$

а) Для упрощения выражения $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos \alpha = 1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$. Из нее следует, что $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha$.
Подставим это выражение в исходное:
$2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha = (1 - \cos \alpha) + \cos \alpha = 1 - \cos \alpha + \cos \alpha = 1$.
Ответ: 1.

б) Для упрощения выражения $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса. Она также является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$. Отсюда получаем $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 + \cos \alpha$.
Подставим это выражение в исходное:
$2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha = (1 + \cos \alpha) - \cos \alpha = 1 + \cos \alpha - \cos \alpha = 1$.
Ответ: 1.

в) Упростим выражение $4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \alpha + 3$.
Используем ту же формулу, что и в пункте а): $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha$. Тогда $4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 2(1 - \cos \alpha) = 2 - 2 \cos \alpha$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$(2 - 2 \cos \alpha) + 2 \cos \alpha + 3 = 2 - 2 \cos \alpha + 2 \cos \alpha + 3 = 5$.
Ответ: 5.

г) Упростим выражение $4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \cos \alpha + 3$.
Используем формулу из пункта б): $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 + \cos \alpha$. Тогда $4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 2(1 + \cos \alpha) = 2 + 2 \cos \alpha$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$(2 + 2 \cos \alpha) - 2 \cos \alpha + 3 = 2 + 2 \cos \alpha - 2 \cos \alpha + 3 = 5$.
Ответ: 5.

Докажите справедливость равенства (9.62–9.63):

9.62* a) $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2};$

б) $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}.$

а)

Докажем тождество $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сначала раскроем квадраты скобок:
$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta)$.

Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$, получаем:
$1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta) = 2 + 2\cos(\alpha - \beta)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(1 + \cos(\alpha - \beta))$.

Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$. Если положить $2x = \alpha - \beta$, то $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$. Таким образом:
$2(1 + \cos(\alpha - \beta)) = 2 \cdot \left(2\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Мы преобразовали левую часть равенства к правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Докажем тождество $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем левую часть, раскрыв скобки:
$(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha - 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta)$.

Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$.

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности, получаем:
$1 + 1 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(1 - \cos(\alpha - \beta))$.

Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$. Если положить $2x = \alpha - \beta$, то $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$. Таким образом:
$2(1 - \cos(\alpha - \beta)) = 2 \cdot \left(2\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

9.63* a) $\sin 2\alpha (\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = 2 \cos^2 (\alpha - \beta);$

б) $\sin 2\alpha (\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha - \cos 2\beta) = 2 \sin^2 (\alpha - \beta);$

в) $\cos^3 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \sin 4\alpha;$

г) $2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha;$

д) $1 + 2 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha;$

е) $1 + 2 \cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha;$

ж) $\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha;$

з) $\cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha.$

а)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \sin 2\alpha (\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + \cos 2\beta)$

Раскроем скобки:

$ЛЧ = \sin^2 2\alpha + \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos^2 2\alpha + \cos 2\alpha \cos 2\beta$

Сгруппируем слагаемые:

$ЛЧ = (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) + (\cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta)$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$ЛЧ = 1 + \cos(2\alpha - 2\beta) = 1 + \cos(2(\alpha - \beta))$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$ЛЧ = 1 + (2\cos^2(\alpha - \beta) - 1) = 2\cos^2(\alpha - \beta)$

Левая часть равна правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \sin 2\alpha (\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha - \cos 2\beta)$

Раскроем скобки:

$ЛЧ = \sin^2 2\alpha - \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos^2 2\alpha - \cos 2\alpha \cos 2\beta$

Сгруппируем слагаемые:

$ЛЧ = (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) - (\cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta)$

Применим основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности:

$ЛЧ = 1 - \cos(2\alpha - 2\beta) = 1 - \cos(2(\alpha - \beta))$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$ЛЧ = 1 - (1 - 2\sin^2(\alpha - \beta)) = 2\sin^2(\alpha - \beta)$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \cos^3 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha \cos \alpha$

Вынесем общий множитель $\sin \alpha \cos \alpha$ за скобки:

$ЛЧ = \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$

Применим формулы двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ (отсюда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$) и $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$ЛЧ = \left(\frac{1}{2} \sin 2\alpha\right) (\cos 2\alpha) = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cos 2\alpha$

Еще раз применим формулу синуса двойного угла для угла $2\alpha$: $\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$:

$ЛЧ = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sin 4\alpha\right) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = 2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha$

Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму: $2 \sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$:

$2 \sin 2\alpha \sin \alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos \alpha - \cos 3\alpha$

Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$ЛЧ = (\cos \alpha - \cos 3\alpha) + \cos 3\alpha = \cos \alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

д)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = 1 + 2 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha$

Применим формулу косинуса двойного угла для $\cos 4\alpha$: $\cos 4\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = 2\cos^2 2\alpha - 1$:

$ЛЧ = 1 + 2 \cos 2\alpha + (2\cos^2 2\alpha - 1) = 2 \cos 2\alpha + 2\cos^2 2\alpha$

Вынесем общий множитель $2 \cos 2\alpha$ за скобки:

$ЛЧ = 2 \cos 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)$

Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла): $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$:

$ЛЧ = 2 \cos 2\alpha (2\cos^2 \alpha) = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

е)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = 1 + 2 \cos 3\alpha + \cos 6\alpha$

Применим формулу косинуса двойного угла для $\cos 6\alpha$: $\cos 6\alpha = \cos(2 \cdot 3\alpha) = 2\cos^2 3\alpha - 1$:

$ЛЧ = 1 + 2 \cos 3\alpha + (2\cos^2 3\alpha - 1) = 2 \cos 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha$

Вынесем общий множитель $2 \cos 3\alpha$ за скобки:

$ЛЧ = 2 \cos 3\alpha (1 + \cos 3\alpha)$

Применим формулу $1 + \cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ для $x=3\alpha$:

$ЛЧ = 2 \cos 3\alpha \left(2\cos^2 \frac{3\alpha}{2}\right) = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

ж)

Докажем формулу тройного угла для синуса. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha)$

Применим формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$:

$ЛЧ = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha$

Применим формулы двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$ЛЧ = (2\sin\alpha\cos\alpha)\cos\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha)\sin\alpha$

Раскроем скобки и упростим:

$ЛЧ = 2\sin\alpha\cos^2\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha$

Заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$ЛЧ = 2\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha) + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ЛЧ = 2\sin\alpha - 2\sin^3\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

з)

Докажем формулу тройного угла для косинуса. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha)$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$:

$ЛЧ = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha$

Применим формулы двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ и $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$ЛЧ = (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha - (2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha$

Раскроем скобки и упростим:

$ЛЧ = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha$

Заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$ЛЧ = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha)\cos\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ЛЧ = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - (2\cos\alpha - 2\cos^3\alpha) = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha + 2\cos^3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

9.64* Вычислите:

а) $\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9};$

б) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}.$

а)

Обозначим искомое выражение через $P$:
$P = \cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}$

Для решения подобных задач, где аргументы косинусов образуют геометрическую прогрессию, удобно использовать формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Умножим и разделим наше выражение на $2\sin\frac{\pi}{9}$ (это возможно, так как $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$):
$P = \frac{2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}$

В числителе $2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{2\pi}{9}$. Подставим это обратно:
$P = \frac{\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}$

Снова видим в числителе выражение вида $\sin\beta\cos\beta$. Повторим тот же прием: умножим и разделим числитель на 2.
$P = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}}$

И еще раз:
$P = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{8\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$:
$\sin\frac{8\pi}{9} = \sin(\pi - \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9}$

Подставим полученное значение в выражение для $P$:
$P = \frac{\sin\frac{\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

б)

Обозначим искомое выражение через $Q$:
$Q = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}$

Действуем аналогично пункту а), последовательно применяя формулу синуса двойного угла. Умножим и разделим выражение на $2\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$):
$Q = \frac{2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{2\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}$

Повторим операцию:
$Q = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{2\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}}$

И еще раз:
$Q = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{8\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$:
$\sin\frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7}$

Подставим полученное значение в выражение для $Q$:
$Q = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$