Страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.34 Запишите формулы:

а) суммы синусов;

б) разности синусов;

в) суммы косинусов;

г) разности косинусов.

а) суммы синусов. Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций в произведение используются для упрощения выражений. Формула для суммы синусов двух произвольных углов $\alpha$ и $\beta$ имеет вид. Ответ: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

б) разности синусов. Формула для разности синусов двух произвольных углов $\alpha$ и $\beta$ записывается следующим образом. Ответ: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

в) суммы косинусов. Формула для суммы косинусов двух произвольных углов $\alpha$ и $\beta$ позволяет представить эту сумму в виде произведения. Ответ: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

г) разности косинусов. Формула для разности косинусов двух произвольных углов $\alpha$ и $\beta$ выглядит так. Ответ: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Представьте в виде произведения (9.35–9.37):

9.35 а) $sin 20^{\circ} + sin 10^{\circ}$;

б) $sin 60^{\circ} - sin 30^{\circ}$;

в) $cos 70^{\circ} + cos 20^{\circ}$;

г) $cos 80^{\circ} - cos 30^{\circ}$;

д) $cos \frac{\pi}{5} - cos \frac{\pi}{4}$;

е) $sin \frac{\pi}{14} + sin \frac{\pi}{3}$;

ж) $sin \frac{\pi}{3} - sin \frac{\pi}{4}$;

з) $cos \frac{\pi}{10} + cos \frac{\pi}{5}$.

а) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $. В данном случае $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $. Подставляем значения в формулу: $ \sin 20^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin\frac{20^\circ+10^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ-10^\circ}{2} = 2 \sin\frac{30^\circ}{2} \cos\frac{10^\circ}{2} = 2 \sin 15^\circ \cos 5^\circ $. Ответ: $ 2 \sin 15^\circ \cos 5^\circ $.

б) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $. В данном случае $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $. Подставляем значения в формулу: $ \sin 60^\circ - \sin 30^\circ = 2 \sin\frac{60^\circ-30^\circ}{2} \cos\frac{60^\circ+30^\circ}{2} = 2 \sin\frac{30^\circ}{2} \cos\frac{90^\circ}{2} = 2 \sin 15^\circ \cos 45^\circ $. Так как $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то выражение можно упростить: $ 2 \sin 15^\circ \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \sin 15^\circ $. Ответ: $ \sqrt{2} \sin 15^\circ $.

в) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $. В данном случае $ \alpha = 70^\circ $ и $ \beta = 20^\circ $. Подставляем значения в формулу: $ \cos 70^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos\frac{70^\circ+20^\circ}{2} \cos\frac{70^\circ-20^\circ}{2} = 2 \cos\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{50^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \cos 25^\circ $. Так как $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то выражение можно упростить: $ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 25^\circ = \sqrt{2} \cos 25^\circ $. Ответ: $ \sqrt{2} \cos 25^\circ $.

г) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $. В данном случае $ \alpha = 80^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $. Подставляем значения в формулу: $ \cos 80^\circ - \cos 30^\circ = -2 \sin\frac{80^\circ+30^\circ}{2} \sin\frac{80^\circ-30^\circ}{2} = -2 \sin\frac{110^\circ}{2} \sin\frac{50^\circ}{2} = -2 \sin 55^\circ \sin 25^\circ $. Ответ: $ -2 \sin 55^\circ \sin 25^\circ $.

д) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{\pi}{4} $. Подставляем значения: $ \cos\frac{\pi}{5} - \cos\frac{\pi}{4} = -2 \sin\frac{\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{4}}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{4}}{2} = -2 \sin\frac{\frac{4\pi+5\pi}{20}}{2} \sin\frac{\frac{4\pi-5\pi}{20}}{2} = -2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin(-\frac{\pi}{40}) $. Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем: $ -2 \sin\frac{9\pi}{40} (-\sin\frac{\pi}{40}) = 2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin\frac{\pi}{40} $. Ответ: $ 2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin\frac{\pi}{40} $.

е) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{14} $ и $ \beta = \frac{\pi}{3} $. Подставляем значения: $ \sin\frac{\pi}{14} + \sin\frac{\pi}{3} = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{14}+\frac{\pi}{3}}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{14}-\frac{\pi}{3}}{2} = 2 \sin\frac{\frac{3\pi+14\pi}{42}}{2} \cos\frac{\frac{3\pi-14\pi}{42}}{2} = 2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos(-\frac{11\pi}{84}) $. Используя свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $, получаем: $ 2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos\frac{11\pi}{84} $. Ответ: $ 2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos\frac{11\pi}{84} $.

ж) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{4} $. Подставляем значения: $ \sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4} = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}}{2} = 2 \sin\frac{\frac{4\pi-3\pi}{12}}{2} \cos\frac{\frac{4\pi+3\pi}{12}}{2} = 2 \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{7\pi}{24} $. Ответ: $ 2 \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{7\pi}{24} $.

з) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{10} $ и $ \beta = \frac{\pi}{5} $. Подставляем значения: $ \cos\frac{\pi}{10} + \cos\frac{\pi}{5} = 2 \cos\frac{\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{10}}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{10}-\frac{2\pi}{10}}{2} = 2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos(-\frac{\pi}{20}) $. Используя свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $, получаем: $ 2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{20} $. Ответ: $ 2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{20} $.