Страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1 Запишите формулу:

a) косинуса разности двух углов;

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

б) косинуса суммы двух углов.

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

а) Формула косинуса разности двух углов, которые мы можем обозначить как $\alpha$ и $\beta$, является одной из фундаментальных тригонометрических формул сложения. Она устанавливает связь между косинусом разности углов и тригонометрическими функциями (синусом и косинусом) каждого из этих углов. Формула гласит, что косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов. Математическая запись формулы выглядит следующим образом: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
Ответ: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

б) Формула косинуса суммы двух углов, $\alpha$ и $\beta$, также является основной тригонометрической формулой. Её можно легко вывести из формулы косинуса разности, представив сумму $\alpha + \beta$ как разность $\alpha - (-\beta)$ и применив формулу из пункта (а):
$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha - (-\beta)) = cos(\alpha)cos(-\beta) + sin(\alpha)sin(-\beta)$.
Далее, используя свойства четности функции косинуса ($cos(-x) = cos(x)$) и нечетности функции синуса ($sin(-x) = -sin(x)$), мы приходим к окончательному виду формулы:
$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
Словесно эту формулу можно выразить так: косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.
Ответ: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором (9.2–9.4):

9.2

а) $ \cos 15^\circ $;

б) $ \cos 75^\circ $;

в) $ \cos 105^\circ $.

а) Для вычисления $ \cos 15° $ необходимо представить угол $15°$ как сумму или разность стандартных углов, значения тригонометрических функций которых известны (например, $30°, 45°, 60°$). Представим $15°$ как $45° - 30°$.

Далее используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим в формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:

$ \cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30° $

Значения стандартных углов:
$ \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin 30° = \frac{1}{2} $

Подставляем эти значения в выражение:

$ \cos 15° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

б) Для вычисления $ \cos 75° $ представим угол $75°$ как сумму $45° + 30°$.

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим в формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:

$ \cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° $

Подставляем известные значения:

$ \cos 75° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

в) Для вычисления $ \cos 105° $ представим угол $105°$ как сумму $60° + 45°$.

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим в формулу $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:

$ \cos 105° = \cos(60° + 45°) = \cos 60° \cos 45° - \sin 60° \sin 45° $

Значения стандартных углов:
$ \cos 60° = \frac{1}{2} $
$ \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставляем эти значения в выражение:

$ \cos 105° = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $

9.3 a) $\cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}$

б) $\sin 10^\circ \sin 70^\circ + \cos 70^\circ \cos 10^\circ$

а)

Для вычисления значения выражения $ \cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} $ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

В данном случае, пусть $ \alpha = \frac{3\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $. Подставим эти значения в формулу:

$ \cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} = \cos\left(\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}\right) $

Выполним вычитание в аргументе косинуса:

$ \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $

Таким образом, выражение равно $ \cos\frac{\pi}{4} $.

Значение косинуса угла $ \frac{\pi}{4} $ является табличным:

$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

б)

Рассмотрим выражение $ \sin10^\circ\sin70^\circ + \cos70^\circ\cos10^\circ $.

Переставим слагаемые для удобства, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$ \cos70^\circ\cos10^\circ + \sin70^\circ\sin10^\circ $

Это выражение также соответствует формуле косинуса разности:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

Здесь $ \alpha = 70^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $. Применим формулу:

$ \cos70^\circ\cos10^\circ + \sin70^\circ\sin10^\circ = \cos(70^\circ - 10^\circ) $

Вычислим разность углов:

$ 70^\circ - 10^\circ = 60^\circ $

Следовательно, искомое значение равно $ \cos60^\circ $.

Значение $ \cos60^\circ $ — это табличное значение:

$ \cos60^\circ = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $