Страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.48 Запишите формулы для арктангенса и арккотангенса.

Арктангенс и арккотангенс являются обратными тригонометрическими функциями для тангенса и котангенса соответственно. Ниже приведены основные формулы, связанные с этими функциями.

Определение: Арктангенс числа $x$ (обозначается $\arctan(x)$ или $\text{arctg}(x)$) — это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

$y = \arctan(x) \iff \tan(y) = x$, при этом $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Основные тождества:

• $\tan(\arctan(x)) = x$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
• $\arctan(\tan(y)) = y$ для любого $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Свойство нечетности:

$\arctan(-x) = -\arctan(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

Формулы сложения и вычитания:

• $\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$, если $xy < 1$.
• $\arctan(x) - \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$, если $xy > -1$.

Производная:

$(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}$.

Интеграл:

$\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Разложение в ряд Маклорена:

$\arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$, справедливо при $|x| \le 1$.

Ответ: Основные формулы для $\arctan(x)$ включают его определение ($y=\arctan(x) \iff \tan(y)=x$), тождество $\tan(\arctan(x))=x$, свойство нечетности $\arctan(-x)=-\arctan(x)$, формулы сложения, производную $\frac{1}{1+x^2}$ и интеграл $x \arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.

Определение: Арккотангенс числа $x$ (обозначается $\text{arccot}(x)$ или $\text{arcctg}(x)$) — это угол $y$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$.

$y = \text{arccot}(x) \iff \cot(y) = x$, при этом $0 < y < \pi$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y) = (0; \pi)$.

Основные тождества:

• $\cot(\text{arccot}(x)) = x$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
• $\text{arccot}(\cot(y)) = y$ для любого $y \in (0, \pi)$.

Свойство симметрии:

$\text{arccot}(-x) = \pi - \text{arccot}(x)$. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Производная:

$(\text{arccot}(x))' = -\frac{1}{1+x^2}$.

Интеграл:

$\int \text{arccot}(x) dx = x \text{arccot}(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: Основные формулы для $\text{arccot}(x)$ включают его определение ($y=\text{arccot}(x) \iff \cot(y)=x$), тождество $\cot(\text{arccot}(x))=x$, свойство симметрии $\text{arccot}(-x) = \pi - \text{arccot}(x)$, производную $-\frac{1}{1+x^2}$ и интеграл $x \text{arccot}(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.

Основное тождество:

$\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого действительного $x$.

Выражение одной функции через другую:

• $\text{arccot}(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$, если $x > 0$.
• $\text{arccot}(x) = \pi + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$, если $x < 0$.
• $\arctan(x) = \text{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)$, если $x > 0$.
• $\arctan(x) = \text{arccot}\left(\frac{1}{x}\right) - \pi$, если $x < 0$.

Ответ: Ключевыми формулами, связывающими арктангенс и арккотангенс, являются тождество $\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$ и формулы преобразования, например, $\text{arccot}(x) = \arctan(\frac{1}{x})$ для $x>0$.

8.49 Выразите через арктангенс положительного числа:

а) $\operatorname{arcctg}(-2);$

б) $\operatorname{arcctg}(-3);$

в) $\operatorname{arcctg}(2 - \pi);$

г) $\operatorname{arcctg}(9 - 3\pi);$

д) $\operatorname{arcctg}(-20);$

е) $\operatorname{arcctg}(-21\pi).$

Для решения всех пунктов этой задачи используется свойство нечетности функции арктангенс. Функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ является нечетной, что означает, что для любого действительного числа $a$ выполняется равенство $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$. Если аргумент арктангенса отрицателен, мы можем вынести знак минус за пределы функции, и тогда аргументом станет положительное число.

а) В выражении $\operatorname{arctg}(-2)$ аргумент $-2$ является отрицательным числом. Используя свойство нечетности $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$, где $x=2$, получаем:$\operatorname{arctg}(-2) = -\operatorname{arctg}(2)$.Аргумент нового арктангенса, число $2$, является положительным.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(2)$

б) В выражении $\operatorname{arctg}(-3)$ аргумент $-3$ также отрицателен. Применяя то же свойство нечетности для $x=3$, имеем:$\operatorname{arctg}(-3) = -\operatorname{arctg}(3)$.Аргумент $3$ является положительным числом.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(3)$

в) Рассмотрим выражение $\operatorname{arctg}(2 - \pi)$. Вначале нужно определить знак аргумента $2 - \pi$. Так как число $\pi \approx 3.14159$, оно больше $2$, следовательно, разность $2 - \pi$ отрицательна. Применим свойство нечетности:$\operatorname{arctg}(2 - \pi) = -\operatorname{arctg}(-(2 - \pi)) = -\operatorname{arctg}(\pi - 2)$.Теперь аргумент $\pi - 2$ является положительным числом.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(\pi - 2)$

г) Рассмотрим выражение $\operatorname{arctg}(9 - 3\pi)$. Определим знак аргумента $9 - 3\pi$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $3\pi \approx 9.42477$. Таким образом, $3\pi > 9$, и разность $9 - 3\pi$ отрицательна. Используя свойство нечетности, получаем:$\operatorname{arctg}(9 - 3\pi) = -\operatorname{arctg}(-(9 - 3\pi)) = -\operatorname{arctg}(3\pi - 9)$.Аргумент $3\pi - 9$ является положительным.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(3\pi - 9)$

д) В выражении $\operatorname{arctg}(-20)$ аргумент $-20$ является отрицательным. По свойству нечетности функции арктангенс:$\operatorname{arctg}(-20) = -\operatorname{arctg}(20)$.Аргумент $20$ — положительное число.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(20)$

е) В выражении $\operatorname{arctg}(-21\pi)$ аргумент $-21\pi$ отрицателен, так как $\pi > 0$. Применяем свойство нечетности:$\operatorname{arctg}(-21\pi) = -\operatorname{arctg}(21\pi)$.Аргумент $21\pi$ является положительным числом.
Ответ: $-\operatorname{arctg}(21\pi)$

8.50 Выразите через арккотангенс положительного числа:

а) $\text{arcctg} (-2);$

б) $\text{arcctg} (-3);$

в) $\text{arcctg} (2 - \pi);$

г) $\text{arcctg} (9 - 3\pi);$

д) $\text{arcctg} (-20);$

е) $\text{arcctg} (-21\pi).$

Для решения данной задачи используется свойство арккотангенса для отрицательного аргумента, которое гласит, что для любого $x > 0$ справедливо равенство: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

а) В выражении $arcctg(-2)$ аргумент равен -2. Это отрицательное число. Применим формулу, взяв $x = 2$:
$arcctg(-2) = \pi - arcctg(2)$.
Аргумент нового арккотангенса (число 2) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(2)$.

б) В выражении $arcctg(-3)$ аргумент равен -3. Это отрицательное число. Применим формулу, взяв $x = 3$:
$arcctg(-3) = \pi - arcctg(3)$.
Аргумент нового арккотангенса (число 3) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(3)$.

в) В выражении $arcctg(2 - \pi)$ необходимо сначала определить знак аргумента $2 - \pi$. Поскольку $\pi \approx 3,14159$, то $2 - \pi < 0$.
Аргумент является отрицательным числом. Применим формулу, взяв $x = -(2 - \pi) = \pi - 2$. Так как $\pi > 2$, то $x > 0$.
$arcctg(2 - \pi) = arcctg(-(\pi - 2)) = \pi - arcctg(\pi - 2)$.
Аргумент нового арккотангенса ($\pi - 2$) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(\pi - 2)$.

г) В выражении $arcctg(9 - 3\pi)$ определим знак аргумента $9 - 3\pi$. Поскольку $\pi \approx 3,14159$, то $3\pi \approx 9,42477$, следовательно $9 - 3\pi < 0$.
Аргумент является отрицательным числом. Применим формулу, взяв $x = -(9 - 3\pi) = 3\pi - 9$. Так как $3\pi > 9$, то $x > 0$.
$arcctg(9 - 3\pi) = arcctg(-(3\pi - 9)) = \pi - arcctg(3\pi - 9)$.
Аргумент нового арккотангенса ($3\pi - 9$) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(3\pi - 9)$.

д) В выражении $arcctg(-20)$ аргумент равен -20. Это отрицательное число. Применим формулу, взяв $x = 20$:
$arcctg(-20) = \pi - arcctg(20)$.
Аргумент нового арккотангенса (число 20) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(20)$.

е) В выражении $arcctg(-21\pi)$ аргумент $-21\pi$ является отрицательным числом, так как $\pi > 0$. Применим формулу, взяв $x = 21\pi$:
$arcctg(-21\pi) = \pi - arcctg(21\pi)$.
Аргумент нового арккотангенса ($21\pi$) является положительным.
Ответ: $\pi - arcctg(21\pi)$.

Вычислите (8.51–8.53).

8.51

a) $ \operatorname{arctg} (-1); $

б) $ \operatorname{arcctg} (-1); $

в) $ \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}); $

г) $ \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}); $

д) $ \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right); $

е) $ \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right). $

а) Арктангенс числа `a`, обозначаемый как `$arctg(a)$`, – это угол `$\alpha$` из интервала `$(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$`, тангенс которого равен `a`, то есть `$tg(\alpha) = a$`. Для вычисления `$arctg(-1)$` воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: `$arctg(-x) = -arctg(x)$`.
Таким образом, `$arctg(-1) = -arctg(1)$`.
Известно, что `$tg(\frac{\pi}{4}) = 1$`, следовательно, `$arctg(1) = \frac{\pi}{4}$`.
Значит, `$arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$`.
Ответ: `$ -\frac{\pi}{4} $`

б) Арккотангенс числа `a`, обозначаемый как `$arcctg(a)$`, – это угол `$\alpha$` из интервала `$(0; \pi)$`, котангенс которого равен `a`, то есть `$ctg(\alpha) = a$`. Для вычисления арккотангенса отрицательного числа используем формулу: `$arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$`.
Таким образом, `$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$`.
Известно, что `$ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$`, следовательно, `$arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$`.
Подставив это значение, получаем: `$arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$`.
Ответ: `$ \frac{3\pi}{4} $`

в) Для вычисления `$arctg(-\sqrt{3})$` воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: `$arctg(-x) = -arctg(x)$`.
Получаем: `$arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3})$`.
Известно, что `$tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$`, значит, `$arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$`.
Следовательно, `$arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$`.
Ответ: `$ -\frac{\pi}{3} $`

г) Для вычисления `$arcctg(-\sqrt{3})$` используем формулу `$arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$`.
Получаем: `$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$`.
Известно, что `$ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$`, значит, `$arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$`.
Подставив это значение, получаем: `$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$`.
Ответ: `$ \frac{5\pi}{6} $`

д) Для вычисления `$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$` воспользуемся свойством нечетности арктангенса: `$arctg(-x) = -arctg(x)$`.
Получаем: `$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$`.
Известно, что `$tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$`, значит, `$arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$`.
Следовательно, `$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$`.
Ответ: `$ -\frac{\pi}{6} $`

е) Для вычисления `$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$` используем формулу `$arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$`.
Получаем: `$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$`.
Известно, что `$ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$`, значит, `$arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$`.
Подставив это значение, получаем: `$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$`.
Ответ: `$ \frac{2\pi}{3} $`