Номер 8.51, страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.6*. Формулы для арктангенса и арккотангенса. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.51, страница 257.

Вычислите (8.51–8.53).

8.51

a) $ \operatorname{arctg} (-1); $

б) $ \operatorname{arcctg} (-1); $

в) $ \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}); $

г) $ \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}); $

д) $ \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right); $

е) $ \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right). $

а) Арктангенс числа `a`, обозначаемый как `$arctg(a)$`, – это угол `$\alpha$` из интервала `$(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$`, тангенс которого равен `a`, то есть `$tg(\alpha) = a$`. Для вычисления `$arctg(-1)$` воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: `$arctg(-x) = -arctg(x)$`.
Таким образом, `$arctg(-1) = -arctg(1)$`.
Известно, что `$tg(\frac{\pi}{4}) = 1$`, следовательно, `$arctg(1) = \frac{\pi}{4}$`.
Значит, `$arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$`.
Ответ: `$ -\frac{\pi}{4} $`

б) Арккотангенс числа `a`, обозначаемый как `$arcctg(a)$`, – это угол `$\alpha$` из интервала `$(0; \pi)$`, котангенс которого равен `a`, то есть `$ctg(\alpha) = a$`. Для вычисления арккотангенса отрицательного числа используем формулу: `$arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$`.
Таким образом, `$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$`.
Известно, что `$ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$`, следовательно, `$arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$`.
Подставив это значение, получаем: `$arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$`.
Ответ: `$ \frac{3\pi}{4} $`

в) Для вычисления `$arctg(-\sqrt{3})$` воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: `$arctg(-x) = -arctg(x)$`.
Получаем: `$arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3})$`.
Известно, что `$tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$`, значит, `$arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$`.
Следовательно, `$arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$`.
Ответ: `$ -\frac{\pi}{3} $`

г) Для вычисления `$arcctg(-\sqrt{3})$` используем формулу `$arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$`.
Получаем: `$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$`.
Известно, что `$ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$`, значит, `$arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$`.
Подставив это значение, получаем: `$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$`.
Ответ: `$ \frac{5\pi}{6} $`

д) Для вычисления `$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$` воспользуемся свойством нечетности арктангенса: `$arctg(-x) = -arctg(x)$`.
Получаем: `$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$`.
Известно, что `$tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$`, значит, `$arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$`.
Следовательно, `$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$`.
Ответ: `$ -\frac{\pi}{6} $`

е) Для вычисления `$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$` используем формулу `$arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$`.
Получаем: `$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$`.
Известно, что `$ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$`, значит, `$arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$`.
Подставив это значение, получаем: `$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$`.
Ответ: `$ \frac{2\pi}{3} $`