Номер 8.51, страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (8.51–8.53).

8.51

a) $ \operatorname{arctg} (-1); $

б) $ \operatorname{arcctg} (-1); $

в) $ \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}); $

г) $ \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}); $

д) $ \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right); $

е) $ \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right). $

а) Арктангенс числа `a`, обозначаемый как $arctg(a)$, – это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен `a`, то есть $tg(\alpha) = a$. Для вычисления $arctg(-1)$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
Таким образом, $arctg(-1) = -arctg(1)$.
Известно, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, следовательно, $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Значит, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $ -\frac{\pi}{4} $

б) Арккотангенс числа `a`, обозначаемый как $arcctg(a)$, – это угол $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен `a`, то есть $ctg(\alpha) = a$. Для вычисления арккотангенса отрицательного числа используем формулу: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
Таким образом, $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.
Известно, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, следовательно, $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставив это значение, получаем: $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $ \frac{3\pi}{4} $

в) Для вычисления $arctg(-\sqrt{3})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
Получаем: $arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3})$.
Известно, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, значит, $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $

г) Для вычисления $arcctg(-\sqrt{3})$ используем формулу $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
Получаем: $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$.
Известно, что $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, значит, $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставив это значение, получаем: $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $

д) Для вычисления $arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ воспользуемся свойством нечетности арктангенса: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
Получаем: $arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Известно, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, значит, $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $

е) Для вычисления $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ используем формулу $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
Получаем: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Известно, что $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, значит, $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставив это значение, получаем: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $