Номер 8.52, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.6*. Формулы для арктангенса и арккотангенса. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.52, страница 258.

8.52 a) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}\right)$;

в) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$;

г) $\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$;

д) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{5 \pi}{6}\right)$;

е) $\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{5 \pi}{6}\right)$;

ж) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{5 \pi}{6}\right)\right)$;

з) $\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{5 \pi}{6}\right)\right)$;

и) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{7 \pi}{4}\right)$.

а) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4})$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Так как значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, то по определению арктангенса верно равенство $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x) = x$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$.
Другой способ решения — вычислить значение тангенса: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$. Тогда $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

б) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4})$
Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. Так как значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, то по определению арккотангенса верно равенство $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}x) = x$.
Следовательно, $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$.
Другой способ решения — вычислить значение котангенса: $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$. Тогда $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}))$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})) = -\frac{\pi}{4}$.
Другой способ: $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Тогда $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

г) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}))$
Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ не принадлежит этому интервалу. Необходимо найти такой угол $y \in (0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg}y = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4})$.
Используем периодичность котангенса (период равен $\pi$): $\operatorname{ctg}(x) = \operatorname{ctg}(x+k\pi)$ для любого целого $k$.
$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}+\pi) = \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})$.
Так как $\frac{3\pi}{4} \in (0; \pi)$, то $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4})) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})) = \frac{3\pi}{4}$.
Другой способ: $\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Тогда $\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

д) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{5\pi}{6})$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение $\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому интервалу. Необходимо найти такой угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg}y = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6})$.
Используем периодичность тангенса (период равен $\pi$): $\operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x+k\pi)$ для любого целого $k$.
$\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}-\pi) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})$.
Так как $-\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6})) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi}{6}$.
Другой способ: $\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда $\operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

е) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{6})$
Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. Значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит этому интервалу.
Следовательно, $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(\frac{5\pi}{6})) = \frac{5\pi}{6}$.
Другой способ: $\operatorname{ctg}(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}$. Тогда $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

ж) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}))$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому интервалу. Используем периодичность тангенса.
$\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}) = \operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}+\pi) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.
Так как $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6})) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{6}$.
Другой способ: $\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда $\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

з) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}))$
Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. Значение $-\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому интервалу. Используем периодичность котангенса.
$\operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}) = \operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}+\pi) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$.
Так как $\frac{\pi}{6} \in (0; \pi)$, то $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6})) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{6}$.
Другой способ: $\operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Тогда $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

и) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{4})$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение $\frac{7\pi}{4}$ не принадлежит этому интервалу. Используем периодичность тангенса.
$\operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4}) = \operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4}-2\pi) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})$.
Так как $-\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4})) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})) = -\frac{\pi}{4}$.
Другой способ: $\operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4}) = \operatorname{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Тогда $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$